Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 36
Determine o volume da menor cunha esférica cortada de uma esfera de raio por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Para calcular esse volume, vamos utilizar coordenadas esféricas. Então devemos determinar os limites das variáveis .
Considerando o primeiro plano como o plano e o outro plano . Então varia entre:
Pensem como se fosse um gomo de bergamota! (ou mexerica, dependendo da sua região! hahaha)
Passo 2
Para é tranquilo, pois como o raio da esfera é então varia entre:
Agora só falta !
Como queremos o gomo inteiro, o ângulo varia entre:
Relembrando que o diferencial de volume em coordenadas esféricas é: .
Agora é só calcular o volume!
Passo 3
Legal! Substituindo tudo na integral tripla temos:
Aplicando os limites pra e fazendo a integração em temos:
Beleza! É esse o volume pedido!
Resposta
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