Enunciado

Determine o volume da menor cunha esférica cortada de uma esfera de raio a por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de π / 6 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Para calcular esse volume, vamos utilizar coordenadas esféricas. Então devemos determinar os limites das variáveis ρ ,   θ   e   ϕ .

Considerando o primeiro plano como o plano x z e o outro plano θ = π / 6 . Então θ varia entre:

0 < θ < π / 6

Pensem como se fosse um gomo de bergamota! (ou mexerica, dependendo da sua região! hahaha)

Passo 2

Para ρ é tranquilo, pois como o raio da esfera é a então ρ varia entre:

0 < ρ < a

Agora só falta ϕ !

Como queremos o gomo inteiro, o ângulo ϕ varia entre:

0 < ϕ < π

Relembrando que o diferencial de volume em coordenadas esféricas é: d V = ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ .

Agora é só calcular o volume!

Passo 3

Legal! Substituindo tudo na integral tripla temos:

V = ∫ 0 π / 6 ∫ 0 π ∫ 0 a ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ = ∫ 0 π / 6 ∫ 0 π ρ 3 3 0 a s e n ϕ   d ϕ d θ = a 3 3 ∫ 0 π / 6 ∫ 0 π s e n ϕ   d ϕ   d θ = a 3 3 ∫ 0 π 6 - c o s ϕ 0 π d θ

Aplicando os limites pra ϕ e fazendo a integração em θ temos:

V = a 3 3 2 . ∫ 0 π 6 d θ = 2 a 3 3 . θ 0 π / 6 = 2 a 3 3 . π 6 = a 3 π 9

Beleza! É esse o volume pedido!

Resposta

a 3 π 9

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