Enunciado

Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∯ S F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = z i ^ + y j ^ - z x k ^ , S é a superfície do tetredro limitado pelos planos coordenados e o plano

x a + y b + z c = 1

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de fluxo de F → sobre S usando o teorema do divergente:

∯ S F → ⋅ d S → = ∭ ∇ ⋅ F →   d V

Assim, trocamos a integral de superfície de F → pela integral de volume do divergente!

Nesse caso, a região considerada é entre os planos coordenados e o plano

x a + y b + z c = 1

Primeiro vamos calcular o divergente:

∇ ⋅ F → = ∂ x F x + ∂ y F y + ∂ z F z = 0 + 1 - x = 1 - x

Portanto,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∭ 1 - x   d V

Passo 2

Para fazer essa integral temos que escrever os limites de integração:

0 ≤ z ≤ c   1 - x a - y b

0 ≤ y ≤ b   1 - x a

0 ≤ x ≤ a

Logo,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 a ∫ 0 b 1 - x a ∫ 0 c 1 - x a - y b 1 - x   d z   d y   d x

Como o integrando só depende de x , podemos fatorá-lo para a última integral:

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 a 1 - x   ∫ 0 b 1 - x a c 1 - x a - y b   d y   d x

Na linha anterior já fiz a integral em z .

Passo 3

Agora fazemos a integral em y :

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 a 1 - x   c 1 - x a ⋅ b 1 - x a - 1 2 b ⋅ b 2 1 - x a 2   d x

Logo,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = b c ∫ 0 a 1 - x   1 - x a 2 - 1 2 1 - x a 2   d x

Assim,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = b c 2 ∫ 0 a 1 - x 1 - x a 2   d x = b c 2 ∫ 0 a 1 - x 1 - 2 x a + x 2 a 2   d x

Portanto,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = b c 2 ∫ 0 a 1 - 2 x a + x 2 a 2 - x + 2 x 2 a - x 3 a 2   d x

Fazendo a integração:

∭ ∇ ⋅ F →   d V = b c 2 a - 2 a ⋅ a 2 2 + 1 a 2 ⋅ a 3 3 - a 2 2 + 2 a ⋅ a 3 3 - 1 a 2 ⋅ a 4 4

Logo,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = b c 2 a - a + a 3 - a 2 2 + 2 a 2 3 - a 2 4 = b c 2 a 3 - a 2 12 = a b c 6 1 - a 4

Pelo teorema do divergente:

∯ S F → ⋅ d S → = a b c 6 1 - a 4

Resposta

a b c 6 1 - a 4

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