Enunciado

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.

1 ≤ ρ ≤ 2 ,               0 ≤ ϕ ≤ π 2 ,               π 2 ≤ θ ≤ 3 π 2

Passo 1

O problema pede para esboçarmos a região dada em coordenadas esféricas:

1 ≤ ρ ≤ 2 ,               0 ≤ ϕ ≤ π 2 ,               π 2 ≤ θ ≤ 3 π 2

Assim, a região pedida está entre as esferas de raio 1 e 2 . Como ϕ vai de só até π / 2 , apenas a parte com z ≥ 0 vaia aparecer, então estamos acima do plano x y . Por fim, como o ângulo polar θ vai de π / 2 até 3 π / 2 , vamos pegar apenas o segundo e terceiro quadrantes!

Passo 2

O plot da região é dado a seguir:

Resposta

Esboço de gráfico

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Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas ∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 ∫ x 2 + y 2 18 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d x d y
Determine o volume contido pelo toro ρ = sen ⁡ ϕ .Utilize um computador para desenhar o toro.
Utilize as coordenadas esféricas.Calcule ∭ H x 2 + y 2 d V , onde H é a região hemisférica que está acima do plano x y e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .
Utilize as coordenadas esféricas.Calcule ∭ B x 2 + y 2 + z 2 d V , onde B é a bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .