Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.9 - Ex. 14
Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de .
, onde , é a esfera com raio e origem no centro.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de fluxo de sobre usando o teorema do divergente:
Assim, trocamos a integral de superfície de pela integral de volume do divergente!
Nesse caso, a região de integração é a esfera
Primeiro vamos calcular o divergente. Para isso vamos reescrever a função :
Assim,
Logo,
Desta forma, o divergente será
Logo,
Portanto,
Passo 2
Para fazer a integral, passamos para coordenadas esféricas:
Como nada depende de , já vamos colocar o fator na frente e separar as integrais:
A primeira integral é
Já a segunda,
Portanto,
Pelo teorema do divergente:
Resposta
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