Enunciado

Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∯ S F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → = r → 2   r → , onde r → = x i ^ + y j ^ + z k ^ , S é a esfera com raio R e origem no centro.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de fluxo de F → sobre S usando o teorema do divergente:

∯ S F → ⋅ d S → = ∭ ∇ ⋅ F →   d V

Assim, trocamos a integral de superfície de F → pela integral de volume do divergente!

Nesse caso, a região de integração é a esfera

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

Primeiro vamos calcular o divergente. Para isso vamos reescrever a função F → :

r → 2 = x 2 + y 2 + z 2

Assim,

F → = x 2 + y 2 + z 2 ( x i ^ + y j ^ + z k ^ )

Logo,

F → = x 3 + x y 2 + x z 2 i ^ + x 2 y + y 3 + y z 2 j ^ + x 2 z + y 2 z + z 3 k ^

Desta forma, o divergente será

∇ ⋅ F → = ∂ x F x + ∂ y F y + ∂ z F z = 3 x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + 3 y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + 3 z 2

Logo,

∇ ⋅ F → = 5 ( x 2 + y 2 + z 2 )

Portanto,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = 5 ∭ x 2 + y 2 + z 2   d V

Passo 2

Para fazer a integral, passamos para coordenadas esféricas:

∭ ∇ ⋅ F →   d V = 5 ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 R r 2 ⋅ r 2   s e n   ϕ   d r   d ϕ   d θ

Como nada depende de θ , já vamos colocar o fator 2 π na frente e separar as integrais:

∭ ∇ ⋅ F →   d V = 10 π   ∫ 0 R r 4   d r ∫ 0 π s e n   ϕ   d ϕ

A primeira integral é

∫ 0 R r 4   d r = r 5 5 0 R = R 5 5

Já a segunda,

∫ 0 π s e n   ϕ   d ϕ = - cos ⁡ ϕ 0 π = - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 = 2

Portanto,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = 10 π ⋅ R 5 5 ⋅ 2 = 4 π R 5

Pelo teorema do divergente:

∯ S F → ⋅ d S → = 4 π R 5

Resposta

4 π R 5

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