Enunciado

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 ln ⁡ n + 4

Passo 1

A série alternada da forma

a n = - 1 n b n

Ou

a n = - 1 n + 1 b n

Onde b n ≥ 0 .

Converge se obedecer o teste da série alternada que tem duas condições

  1. b n + 1 < b n para todo n
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Passo 2

Agora vamos ver se a série obedece as duas regras do teste da série alternada.

Para a primeira regra b n + 1 < b n , neste caso temos que

b n = 1 ln ⁡ n + 4

Temos que analisar se

1 ln ⁡ n + 5 < 1 ln ⁡ n + 4

O ln ⁡ x só aumenta seu valor em todo o seu domínio, então para um argumento maior temos que o logaritmo vale mais, logo ln ⁡ n + 5 > ln ⁡ n + 4 , como estão no denominador das frações, de fato podemos afirmar que

1 ln ⁡ n + 5 < 1 ln ⁡ n + 4

Passo 3

Para a segunda regra, basta calcular o limite de b n

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n + 4 = 0

Como a série obedece as duas regras do teste da série alternada, a série converge.

Resposta

Converge.

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Aproxime a soma da serie com a precisao de quatro casas decimais: ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 8 n
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Aproxime a soma da serie com a precisao de quatro casas decimais: ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 5
Mostre que a série e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada: ∑ n = 0 ∞ - 1 n 10 n . n ! e e r r o ≤ 0,000005
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n