Enunciado

Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∯ S F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 2 y z i ^ + x y 2 z j ^ + x y z 2 k ^ , S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x = a , y = b e z = c , onde a ,   b e c são números positivos.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de fluxo de F → sobre S usando o teorema do divergente:

∯ S F → ⋅ d S → = ∭ ∇ ⋅ F →   d V

Assim, trocamos a integral de superfície de F → pela integral de volume do divergente!

Nesse caso, a região de integração é a caixa retangular:

0 ≤ x ≤ a ,           0 ≤ y ≤ b             e             0 ≤ z ≤ c

Assim,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 a ∫ 0 b ∫ 0 c ∇ ⋅ F →   d z   d y   d x

O divergente será

∇ ⋅ F → = ∂ x F x + ∂ y F y + ∂ z F z = 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z = 6 x y z

Portanto,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 a ∫ 0 b ∫ 0 c 6 x y z   d z   d y   d x

Passo 2

Primeiro fazemos a integral em z :

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 a ∫ 0 b 3 x y z 2 0 c   d y   d x

Portanto,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 a ∫ 0 b 3 c 2 x y   d y   d x

Agora integramos em y :

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 a 3 2 b 2 c 2 x   d x

Por fim, fazendo a integral em x :

∭ ∇ ⋅ F →   d V = 3 4 a 2 b 2 c 2

Desta forma, pelo teorema do divergente:

∯ S F → ⋅ d S → = 3 4 a 2 b 2 c 2

Resposta

3 4 a 2 b 2 c 2

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