Enunciado

Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força F x , y = x x + y i + x y 2 j ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x até   ( 1,0 ) , em seguida ao longo de um segmento de reta até ( 0,1 ) , e então de volta à origem ao longo do eixo y .

Passo 1

O trabalho é dado por

W = ∫ C F ⋅ d r

Pelo Teorema de Green

W = ∫ C F ⋅ d r = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Colocando os pontos no gráfico

Então temos

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y 2 - x d y d x

∫ 0 1 y 3 3 - y x 0 1 - x d x = ∫ 0 1 1 - x 3 3 - x - x 2 d x

= - 1 - x 4 12 - x 2 2 + x 3 3 0 1 = - 1 2 + 1 3 + 1 12

- 6 + 4 + 1 12 = - 1 12

Resposta

- 1 12

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