Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

∫ C y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y

C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x 2 e x = y 2

Passo 1

Como C é uma curva fechada, pelo Teorema de Green temos

∫ C y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y = ∬ D ∂ ∂ x 2 x + cos ⁡ y 2 - ∂ ∂ y y + e x d A

= ∬ D 2 - 1 d A = ∬ D d A

A região D limitada por C é uma região clássica de limites

0 ≤ x ≤ 1

x 2 ≤ y ≤ x

E temos

∬ D d A = ∫ 0 1 ∫ x 2 x d y d x

= ∫ 0 1 ( x - x 2 ) d x = 2 x 3 3 - x 3 3 0 1

= 2 3 - 1 3 = 1 3

Resposta

= 1 3

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