Enunciado

Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

F x , y = y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x

C é o triangulo de 0,0 �� a ( 2,6 ) a 2,0 a ( 0,0 )

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer.

Ela quer que a gente calcule a integral de linha

∫ C F ⋅ d r

onde C é a linha de um triângulo que está localizado nos pontos de 0,0   a ( 2,6 ) a 2,0 a ( 0,0 )

E F é

F x , y = y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x

Utilizando o Teorema de Green

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Que diz que podemos transformar uma integral de linha em uma integral dupla utilizando a relação acima.

Onde, na integral de linha P é tudo que está na coordenada x do vetor

F x , y = y 2 cos ⁡ x ,   …

e Q é tudo que está na coordenada y do vetor

F x , y = … , x 2 + 2 y sen ⁡ x

e C é o contorno da curva que nesse caso é o triângulo!

E na integral dupla que vamos fazer, D é o interior da curva que precisa estar orientada positivamente que nessa questão é a área do triângulo!

∂ Q ∂ x

É a derivada parcial de Q em relação à x ,

∂ P ∂ y

É a derivada parcial de P em relação à y e

d A = d x d y

Por que usar o Teorema de Green?

Primeiro porque que a questão pede pra fazer isso 🤣 e segundo porque facilita muito os cálculos!

Portanto,

Primeiro, identificaremos P e Q e calcularemos suas derivas parciais, depois montaremos a integral com elas, analisaremos a região D e calcularemos a integral.

Partiu?

Passo 2

Nosso primeiro passo é obter P e Q . A integral de linha é:

∫ C F ⋅ d r

Onde F

F x , y = y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x

Sendo P tudo que está localizado na coordenada x do vetor

P x , y = y 2 cos ⁡ x

e Q tudo que acompanha d y , temos

Q x , y = x 2 + 2 y sen ⁡ x

Calculando P em relação à y :

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y y 2 cos ⁡ x

∂ ∂ y y 2 cos ⁡ x = 2 y cos ⁡ x

Calculando Q em relação à x :

∂ Q ∂ x =   ∂ ∂ x x 2 + 2 y sen ⁡ x

  ∂ ∂ x x 2 + 2 y sen ⁡ x = 2 x + 2 y cos ⁡ x

Portanto,

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 2 x + 2 y cos ⁡ x - 2 y cos ⁡ x

2 x + 2 y cos ⁡ x - 2 y cos ⁡ x = 2 x

Passo 3

Agora montaremos a integral. Temos

∫ C F ⋅ d r = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Substituindo o que achamos no passo anterior:

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∬ D 2 x d A

E lembrando que

d A = d x d y

∬ D 2 x d A = ∬ D 2 x d x d y

Então,

∫ C F ⋅ d r = ∬ D 2 x d x d y

Passo 4

Vamos analisar a nossa região D !

Primeiro vamos olhar C como a seguinte curva no plano

Da maneira que está descrita a curva temos uma orientação negativa, pois está de 0,0 , depois ( 2,6 ) , depois 2,0 e por último ( 0,0 ) que é o sentido horário!

Ou você pode pensar que enquanto anda pela linha do triângulo, o interior dele precisar estar na esquerda para estar orientada positivamente!

Então para aplicar o teorema, precisaremos usar a integral sobre - C , temos a relação

∫ C F ⋅ d r = - ∫ - C F ⋅ d r

Onde a segunda integral tem orientação positiva, e aplicando no Teorema de Green:

- ∫ - C F ⋅ d r = - ∬ D 2 x d x d y

Simplesmente colocamos um sinal negativo na integral do Teorema de Green, pois a curva está orientada negativamente, ok?

Vamos então, achar os limites da região D :

Temos na figura

x variando de 0 à 2

0 ≤ x ≤ 2

E y variando de 0 à reta inclinada,

y = a x + b

Que podemos descobrir sua função, primeiro fazendo a diferença entre y e x de dois pontos dela 0,0 e 2,6 para descobrir o coeficiente angular:

Δ y = 6 - 0 = 6

Δ x = 2 - 0 = 2  

Sendo o coeficiente angular a :

a = Δ y Δ x

a = 6 2 = 3

E como a reta passa pela origem, b = 0 . Então:

y = 3 x

Portanto

0 ≤ y ≤ 3 x

Passo 5

Colocando os limites e resolvendo a integral:

- ∬ D 2 x d y d x = ∫ 0 2 ∫ 0 3 x 2 x   d y d x

Sempre lembrando que o limite de integração com mais variáveis fica no interior!

Resolvendo em relação à y :

∫ 0 2 ∫ 0 3 x 2 x   d y d x = ∫ 0 2 6 x 2   d x

Resolvendo em relação à x :

∫ 0 2 6 x 2   d x = 2 x 3 0 2

2 x 3 0 2 = 2 4 = 16

Prontinho!

Resposta

∫ C F ⋅ d r = - 16

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