Seja F(x, y) = (-y / (x^2 + y^2), x / (x^2 + y^2) + 3x) um campo vetorial em R^2 . Calcule a integral de linha do campo F ao longo das curvas C_1 e C_2 , orientadas no sentido anti-horário, onde:

  1. C_1 é a circunferência de equação x^2 + y^2 = 4 .
  2. C_2 é a fronteira do retângulo R = {(x, y) ∈ R^2 : -pi ≤ x ≤ pi, -3 ≤ y ≤ 3} .

Passo 1

Assim como no exercício anterior, não podemos usar o teorema de Green “às cegas”. Note que em 0,0 , F x , y sofre uma descontinuidade. Dessa maneira, não poderemos aplicar o teorema de Green em conjuntos que possuam o 0,0 em seu interior.

Passo 2

  1. Vamos calcular a integral dada pela definição de integral de linha.

Para isso, tome a seguinte parametrização:

γ t = 2 cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Assim, segue que

∮ C 1 F ⋅ d r = ∫ 0 2 π F γ t   γ ' t   d t ∮ C 1 F ⋅ d r = ∫ 0 2 π - 2 sin ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t + 4 sin 2 ⁡ t , 2 cos ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t + 4 sin 2 ⁡ t + 6 cos ⁡ t ⋅ - 2 sin ⁡ t ,   2 cos ⁡ t   d t ∮ C 1 F ⋅ d r = ∫ 0 2 π - sin ⁡ t 2 , 13 cos ⁡ t 2 ⋅ - 2 sin ⁡ t ,   2 cos ⁡ t d t = ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ t + 13 cos 2 ⁡ t d t ∮ C 1 F ⋅ d r = ∫ 0 2 π 1 + 12 cos 2 ⁡ t   d t = ∫ 0 2 π d t + 12 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t ∮ C 1 F ⋅ d r = 2 π + 6 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t d t = 2 π + 6 t + 1 2 sin ⁡ 2 t 0 2 π ∮ C 1 F ⋅ d r = 2 π + 6 2 π + 0 = 14 π

Observação. Note que na 3° para 4° linha, usamos sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 ; Na 5° linha usamos cos 2 ⁡ t = 1 2 cos ⁡ 2 t + 1 .

Resposta

  1. 14 π .
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