Enunciado

Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

F x , y = y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x

C é o triangulo de 0,0   a ( 2,6 ) a 2,0 a ( 0,0 )

Passo 1

Temos C como a seguinte curva no plano

Da maneira que está descrita a curva temos uma orientação negativa, então para aplicar o teorema, precisaremos usar na integral sobre - C , pela relação

∫ C F ⋅ d r = - ∫ - C F ⋅ d r

Onde a segunda integral tem orientação positiva e podemos aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Aplicando o teorema na segunda integral

∫ - C y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x ⋅ d r = ∬ D ∂ ∂ x x 2 + 2 y sen ⁡ x - ∂ ∂ y y 2 cos ⁡ x d A

= ∬ D 2 x + 2 y cos ⁡ x - 2 y cos ⁡ x   d A = ∬ D 2 x   d A

= ∫ 0 2 ∫ 0 3 x 2 x   d y d x = ∫ 0 2 6 x 2   d x = 2 x 3 0 2

= 2 4 = 16

Como temos

∫ C F ⋅ d r = - ∫ - C F ⋅ d r

∫ C F ⋅ d r = - 16

Resposta

∫ C F ⋅ d r = - 16

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