Enunciado

Use o Teorema de Stokes para calcular ∬_S vec grad xx vec F * d vec S .

vec F (x , y , z) = e^(x y) + e^(x z) hat j + x^2 z hat k

S é m e t a d e d o e l i p s o i d e 4 x^2 + y^2 + 4 z^2 = 4 ,

o r i e n t a d o n a d i r e ç ã o d o e i x o y p o s i t i v o

Passo 1

Vamos começar calculando o rotacional do campo vec F :

grad xx vec F = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[e^(x y),e^(x z),x^2,z]]| = vec i ((del)/(del y) ( x^2 z ) - (del)/(del z) ( e^(x z) )) + vec j ((del)/(del z) ( e^(x y) ) - (del)/(del x) ( x^2 z )) + vec k ((del)/(del x) ( e^(x z) ) - (del)/(del y) (e^(x y)))

grad xx vec F = 〈- x e^(x z) ; - 2 x z ; z e^(x z) - x e^(x y)〉

Passo 2

O vetor normal tem a orientação do eixo y positivo, então esse vetor é:

vec n = 〈0,1 , 0〉

Feito!

Passo 3

Agora vamos calcular o produto escalar entre os vetores dos passos 1 e 2 :

〈- x e^(x z) ; - 2 x z ; z e^(x z) - x e^(x y)〉 * 〈0,1 , 0〉 = - 2 x z

E quanto a região de integração? No plano y = 0 temos:

4 x^2 + 4 z^2 = 4

x^2 + z^2 = 1

Um círculo de raio 1 , então em coordenadas polares x = r c o s theta ; z = r s e n theta :

d A = r d r d theta

0 <= r <= 1

0 <= theta <= 2 pi

Show! Já temos nosso integrando e os limites de integração!

Passo 4

Agora é só jogar tudo isso na integral dupla!

∬_S vec grad xx vec F * d vec S = int_0^(2 pi) int_0^1 - 2 r c o s theta r s e n theta . r d r d theta

- 2 int_0^(2 pi) c o s theta s e n theta d theta int_0^1 r^3 d r = - 2 [(1)/(2) s e n^2 theta]_0^(2 pi) . [(r^4)/(4)]_0^1 = - 2 [(0)/(2) - (0)/(2)] . [(1)/(4) - 0] = 0

Beleza?

Resposta

0

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