Enunciado

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F → = ∇ f .

F x , y , z = 3 x y 22 z 2 i ^ + 2 x 2 y z 3 j ^ + 3 x 2 y 2 z 2 k ^

Passo 1

Vamos lembrar quais são as condições para que o campo vetorial seja conservativo.

A primeira coisa que temos que ter é que, o rotacional de F → deve ser nulo. Entretanto essa é uma condição necessária, mais não suficiente. Uma vez verificado que ∇ × F → = 0 → , o próximo passo é buscar verificar a cara de f

Para calcular o rotacional, fazemos

∇ × F ^ = i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z F x F y F z = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

Passo 2

Calculando o rotacional

∇ × F ^ =   d 3 x 2 y 2 z 2 d y - d 2 x 2 y z 3 d z i ^ + d 3 x y 22 z 2 d z - d 3 x 2 y 2 z 2 d x j ^ + d 2 x 2 y z 3 d x - d 3 x y 22 z 2 d y k ^  

= 6 x 2 y z 2 - 6 x 2 y z 2 i ^ + 6 x y 2 z - 6 x y 2 z 2 j ^ + 4 x y z 3 - 6 x y z 2 k ^   ≠ 0

Logo o campo não é conservativo.

Resposta

Campo não conservativo

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:a) um possível escoamento incompressível;
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?a) f → x , y = e x sen ⁡ y , e x cos ⁡ y em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Mostrar que, se f ( x , y , z ) é solução da equação de Laplace, ∇ f é um campo vetorial que é, ao mesmo tempo solenoidal e irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen ⁡ x + cos ⁡ x , z , y em R 3