Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.8 - Ex. 2
Use o Teorema de Stokes para calcular .
é o hemisfério orientado para cima.
Passo 1
Oi galera, tudo bem? A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira. No plano temos um círculo de raio :
Vou preferir usar a forma do teorema que diz .
Uma parametrização possível é:
E o vetor :
E já vamos calcular a derivada:
Passo 2
Agora vamos encontrar o campo em função dessa nova parametrização:
Daí sabendo que temos:
Passo 3
Show! Agora vamos calcular o integrando: o produto escalar de com (resgatando lá dos passos ):
Passo 4
Beleza! Agora é só colocar na integral e calcular sobre os valores de :
Olhando numa tabela de integrais temos:
Assim temos:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
14. Seja r0 um real dado e considere a superfície σ( φ ,θ )=( rs e nφc o sθ ,rs e nφs e nθ ,rc o sφ ) com (φ, θ) ∈ K, onde K é o retângulo0≤φ≤ π 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π, no planoφθ. (Observe que a imagem de σ
10. Calcule ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S Onde F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 - y , x , z 2 σ a superfície x 2+y 2+z 2=1 e a normal apontando para fora daesfera.(Cuidado: O teorema da divergência não se aplic
11. Calcule ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S onde σ é a reunião das facesMNJ, OMN e ONJ do tetraedro abaixo, a normal apontando parafora do tetraedro e F x ,y ,z = - y,x ,x y z MNJ é a superfície x + y + z = 1, x
Seja σ : K → R 3 regular no interior de K e injetora em K ; suponha que as componentes de σ ,x = x u , v , y = y u , v e z = z u , v , sejam de classe C 2 num aberto contendo K . Suponha que K tenha a
Calcule ∫ C 2 x y - 2 x d x + x 2 zd y - x 2 yd z , Onde C é a curva obtida como intersecção da superfície z = 4 - x 2 - y 2 com o plano x + y = 2 . Especifique a orientação escolhida.