Seja sigma: K -> R^3 regular no interior de K e injetora em K ; suponha que as componentes de sigma, x = x(u, v), y = y(u, v) e z = z(u, v) , sejam de classe C^2 num aberto contendo K . Suponha que K tenha a forma abaixo, onde gamma_1: [a_1, b_1] -> R^2

e gamma_2: [a_2, b_2] -> R^2 são curvas simples, fechadas, C^1 por partes, sendo gamma_1 orientada no sentido anti-horário e gamma_2 no sentido horário e tais que a fronteira de K é igual a Im γ_1 ∪ Im γ_2 . Sejam Γ_1(t) = σ(γ_1(t)), t ∈ [a_1, b_1] , e Γ_2(t) = σ(γ_2(t)), t ∈ [a_2, b_2] .

Seja F = P i + Q j + R k de classe C^1 num aberto contendo Im sigma e seja

n = (∂σ/∂u ∧ ∂σ/∂v) / |∂σ/∂u ∧ ∂σ/∂v|

Prove que

∬ σ r o t   F → ⋅ n →   d S = ∫ Γ 1 F → ⋅ d r → + ∫ Γ 2 F → ⋅ d r →

Passo 1

Do Teorema de Stokes temos que dado um σ : K → R 3 uma porção de superfície regular com parametrização definida por σ ,   x = x u , v , y = y u , v e z = z u , v que são supostas de classe C 2 num aberto contendo K e tendo F → = P   i → + Q   j → + R   k → um campo vetorial de classe C 1 num aberto que contém I m   σ , então teremo que

∫ Γ F → ⋅ d r → = ∬ σ ( r o t   F → ) ⋅ n →   d S

Na qual Γ é uma curva fronteira de σ orientada positivamente em relação a normal n → .

Assim vamos tomar nossos conjuntos a baixo.

Passo 2

Perceba que iremos fazer apenas um passo do nosso problema, e todo o resto já estará praticamente resolvido.

Tome a primeira imagem e vamos mostrar que

∫ γ 1 F → ⋅ d r → + ∫ γ 2 F → ⋅ d r → = ∬ K r o t   F → ⋅ n →   d S

Assim tomemos que

∫ A B F → ⋅ d r → + ∫ B G C F → ⋅ d r → + ∫ C D F → ⋅ d r → + ∫ D E A F → ⋅ d r → = ∬ K 1 r o t   F → ⋅ n →   d S

e

∫ B A F → ⋅ d r → + ∫ A F D F → ⋅ d r → + ∫ D C F → ⋅ d r → + ∫ C H B F → ⋅ d r → = ∬ K s r o t   F → ⋅ n →   d S

Somando as duas equações, temos que

∫ A B F → ⋅ d r → = - ∫ B A F → ⋅ d r →

e

∫ A B F → ⋅ d r → = - ∫ B A F → ⋅ d r →

∫ C D F → ⋅ d r → = - ∫ D C F → ⋅ d r →

Logo só nos sobram

∫ B G C F → ⋅ d r → + ∫ C H B F → ⋅ d r → = ∫ γ 1 F → ⋅ d r →

∫ A F D F → ⋅ d r → + ∫ D E A F → ⋅ d r → = ∫ γ 2 F → ⋅ d r →

Assim temos que

∫ γ 1 F → ⋅ d r → + ∫ γ 2 F → ⋅ d r → = ∬ K 1 r o t   F → ⋅ n →   d S + ∬ K 2 r o t   F → ⋅ n →   d S = ∬ K r o t   F → ⋅ n →   d S

Passo 3

Desta forma podemos então aplicar nosso teorema de Stokes (olhar pagina 253 da 5 ª Ed)

Desta forma segue o mesmo passo que foi realizado no passo 2, mas agora indicando que estamos lidando com a segunda imagem, relativa a I m   σ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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