Enunciado

  1. Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → ,   onde
  2. F → x , y , z = x 2 y i → + x 3 3 j → + x y k →

    e C é a curva da intersecção do paraboloide hiperbólico   z = y 2 - x 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 1 com orientação no sentido anti-horário quando visto de cima.

  3. Trace o gráfico do paraboloide hiperbólico e do cilindro com domínios escolhidos de forma a ver a curva C e a superfície que você usou na parte ( a ) .
  4. Determine as equações paramétricas para C e use-as para traçar o gráfico de C .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? A curva de fronteira está na superfície z = y 2 - x 2 na região do círculo x 2 + y 2 = 1 no plano x y .

Assim z = g x , y = y 2 - x 2 .

E o vetor normal a essa superfície vai ser n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 :

n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 = ( 2 x ,   - 2 y , 1 )

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. A projeção no plano x y é um círculo de raio 1 . Em coordenadas polares temos x = r c o s θ e   y = r s e n ( θ ) e os limites vão ser:

0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o elemento de área vai ser: d A = r d r d θ

Passo 2

Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de F → :

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x 2 y x 3 / 3 x y = i → ∂ ∂ y ( x y ) - ∂ ∂ z ( x 3 / 3 ) + j → ∂ ∂ z ( x 2 y ) - ∂ ∂ x ( x y ) + k → ∂ ∂ x ( x 3 / 3 ) - ∂ ∂ y ( x 2 y )

∇ × F → = x , - y , 0

O produto escalar entre ∇ × F → e n → fica:

∇ × F → ⋅ n → = x , - y , 0 ⋅ 2 x ,   - 2 y , 1 = 2 ( x 2 + y 2 ) = 2 r 2

Passo 3

Agora é colocar tudo na integral:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 r d r d θ = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ = 2 ∫ 0 2 π r 4 4 0 1 d θ = 2 1 4 4 ∫ 0 2 π d θ

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 1 2 . 2 π = π

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. a )F → x , y , z = y k → ,σ u , v = u , v , u 2 + v 2 , c o mu 2 + v 2 ≤ 1 , sendo n →
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. e )F → x , y , z = x j → ,σ é a superfície x , y , z ∈ R 30 ≤ z ≤ 1 ,x 2 + y 2 = 1 ,x ≥
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. g )F → x , y , z = y i → ,σ é a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x 2 + y 2 ≤ 1ez ≥ 0 , s
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. j )F → x , y , z = y i → + x j → + x z k → ,σ é a superfície z = x + y + 2ex 2 + y 2 4
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. c )F → x , y , z = y i → + x 2 j → + z k → ,σ u , v = u , v ,2 u + v + 1 ,c o mu ≥ 0eu