Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 12
- Use o Teorema de Stokes para calcular onde
e é a curva da intersecção do paraboloide hiperbólico com o cilindro com orientação no sentido anti-horário quando visto de cima.
- Trace o gráfico do paraboloide hiperbólico e do cilindro com domínios escolhidos de forma a ver a curva e a superfície que você usou na parte .
- Determine as equações paramétricas para e use-as para traçar o gráfico de .
e é a curva da intersecção do paraboloide hiperbólico com o cilindro com orientação no sentido anti-horário quando visto de cima.
Passo 1
Oi galera, tudo bem? A curva de fronteira está na superfície na região do círculo no plano .
Assim .
E o vetor normal a essa superfície vai ser :
Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. A projeção no plano é um círculo de raio . Em coordenadas polares temos e os limites vão ser:
E o elemento de área vai ser:
Passo 2
Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de :
O produto escalar entre e fica:
Passo 3
Agora é colocar tudo na integral:
Resposta
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1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. a )F → x , y , z = y k → ,σ u , v = u , v , u 2 + v 2 , c o mu 2 + v 2 ≤ 1 , sendo n →
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. e )F → x , y , z = x j → ,σ é a superfície x , y , z ∈ R 30 ≤ z ≤ 1 ,x 2 + y 2 = 1 ,x ≥
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. g )F → x , y , z = y i → ,σ é a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x 2 + y 2 ≤ 1ez ≥ 0 , s
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. j )F → x , y , z = y i → + x j → + x z k → ,σ é a superfície z = x + y + 2ex 2 + y 2 4
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. c )F → x , y , z = y i → + x 2 j → + z k → ,σ u , v = u , v ,2 u + v + 1 ,c o mu ≥ 0eu