1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S numa integral de linha e calcule.

g )   F → x , y , z = y i → ,       σ é a superfície   x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,   x 2 + y 2 ≤ 1   e   z ≥ 0 ,   sendo n → a normal para cima

Passo 1

Olá, tudo em paz?

Vem comigo que hora iremos resolver essa atividade de cálculo.

O campo vetorial que temos é o:

F → x , y , z = y j ^

A curva é a circunferência no plano z = 1 de raio 1 , parametrizada por:

Γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   1

t ∈ 0,2 π

Vamos parametrizar também σ :

σ u , v = u , v , 2 - u 2 - v 2 ,   u 2 + v 2 ≤ 1

Passo 2

Derivando a curva:

d Γ t = - sin ⁡ t î + cos ⁡ t j ^ d t

E fazendo que F → = sin ⁡ t j ^

Então:

F → ⋅ d r → = sin ⁡ t ⋅ - sin ⁡ t d t = - sin 2 ⁡ t d t

Então:

∮ F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π - sin 2 ⁡ t d t

Usando:

sin 2 ⁡ t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

Então:

∫ 0 2 π - sin 2 ⁡ t d t = - 1 2 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 t d t

Calculando:

- 1 2 t - sin ⁡ 2 t 2 0 2 π

= - 1 2 2 π - 0 = - π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = - π

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