Enunciado

Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite.

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x

Passo 1

Sabemos que todos os valores de cosseno independente do ângulo permanece entre -1 e 1, então podemos fazer a seguinte afirmação:

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x   ≤ 1

Passo 2

Agora vamos multiplicar toda a expressão por x   para termos a função dada no enunciado.

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x   ≤ 1 ∙   x

- x ≤ x cos ⁡ 1 x   ≤ x

Passo 3

Agora apliquemos limite de x tendendo a 0 em toda a expressão e resolvemos os limites.

lim x → 0 - ⁡ x ≤ lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x ≤ 0

Como lim x → 0 - ⁡ x que é menor que lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x e lim x → 0 ⁡ x que é maior que lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x convergem para 0, então pelo teorema do “sanduíche”   lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x é igual 0.

Resposta

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x = 0

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Prove que a função co-tangente é contínua em seu domínio.
48.Seja f x = x 2 + 1 s ex1 x - 2 2s ex ≥ 1 Encontre lim x → 1 - ⁡ f ( x ) e lim x → 1 + ⁡ f ( x ) . lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe?Esboce o gráfico de f .
Encontre o lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se 4 x - 1 xf ( x )4 x 2 + 3 x x 2 Para todo x5 .
57. Use o gráfico para encontrar um número N tal que 6 x 2 + 5 x - 3 2 x 2 - 1 - 30,2
Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. lim x → 1,5 ⁡ 2 x 2 - 3 x 2 x - 3