Enunciado

Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 3

Passo 1

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a n = 1 2 n + 1 3 ↔ f x = 1 2 x + 1 3

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , ∞ ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 ∞ 1 2 x + 1 3 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 2 x + 1 3 d x = lim t → ∞ ⁡ 2 x + 1 - 2 - 2 ∙ 1 2 1 t

lim t → ∞ ⁡ 2 x + 1 - 2 - 2 ∙ 1 2 1 t = lim t → ∞ ⁡ - 1 4 ∙ 2 x + 1 2 + 1 4 ∙ 9 = 1 36

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 3   é convergente

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n - 3
Determine se a série é convergente ou divergente. 1 3 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 13 + …
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 2 n + 2
Determine se a série é convergente ou divergente. 1 + 1 2 2 + 1 3 3 + 1 4 4 + 1 5 5 + …
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 3 n - 1 4