Enunciado

3. a) Use os testes da derivada primeira e da derivada segunda para mostrar que f x = 3 x 2 - 6 x + 1 tem um mínimo relativo em x = 1 .

Passo 1

Então galera, de início o que vamos fazer é encontrar os pontos críticos da função que nos foi dada, ok? Derivando e igualando a zero, teremos:

f ' x = 6 x - 6

6 x - 6 = 0

x = 6 6 = 1

Então só temos um ponto crítico, que é em x = 1 , ok? Da derivada segunda temos:

f ' ' x = 6 > 0

Sendo assim, temos que a concavidade da função no intervalo em questão é para cima, o que já é um indicativo de ponto de mínimo!

Passo 2

Beleza, agora só temos que analisar como a função se comporta antes e depois do ponto crítico. Para x < 1 , temos que:

f ' 1 2 = 6.1 2 - 6 = - 3

Ou seja: f ' x < 0 . Para x > 1 , temos que:

f ' 2 = 6.2 - 6 = 6

Ou seja: f ' x > 0 .

Se antes do ponto crítico a função é decrescente e a partir do momento em que passa pelo ponto crítico a função passa a ser crescente, então sem dúvida alguma temos um ponto de mínimo na função! Sendo assim, fica provado que, de fato, x = 1 é um ponto de mínimo da função! Esboçando o gráfico para garantir:

E está aí nossa prova!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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