Enunciado

Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

y ' ' - 2 y ' + 2 y = cos ⁡ t ,   s e   y 0 = 1 ; y ' 0 = 0

Passo 1

Vamos considerar a nossa EDO como:

y ' ' - 2 y ' + 2 y = cos ⁡ t ,   s e   y 0 = 1 ; y ' 0 = 0

Utilizando a tabela de transformação de Laplace, podemos dizer que :

L y ' = f ' t = s f s - f ( 0 )

E também :

L y ' ' = f ' ' t = s 2 f s - s f 0 - f ' ( 0 )

E :

L y = f t = f ( s )

L cos ⁡ t = s s 2 + a 2

Com essas considerações, vamos sair do domínio de t para o domínio de s , para encontrar equações algébricas fáceis de resolver e por fim, retornamos para o domínio de t .

Passo 2

Considerando o nosso PVI:

y ' ' - 2 y ' + 2 y = cos ⁡ t

Aplicamos Laplace:

L { y ' ' } - 2 L { y ' } + 5 L { y } = L { cos ⁡ t }

Vamos transformar o domínio t em domínio s . Substistuindo pelos valores de Laplace, teremos:

s 2 f s - s f 0 - f ' 0 - 2 s f s - f 0 + 2 f s = s s 2 + 1

Aplicando os valores das condições dados, onde, y 0 = 1 e y ' 0 = 0 :

s 2 f s - s - 2 s f s + 2 + 2 f s = s s 2 + 1

Isolando f ( s ) ficamos com:

f s s 2 - 2 s + 2 = s s 2 + 1 + s - 2

Isolando f ( s ) :

f s = s ( s 2 + 1 ) s 2 - 2 s + 2 + s - 2 s 2 - 2 s + 2

Passo 3

Antes de encontrar a equação do domínio s , precisamos aplicar frações parciais na primeira equação, onde de acordo com as propriedades de frações parciais podemos reescrever como:

s ( s 2 + 1 ) s 2 - 2 s + 2 = A s + B s 2 + 1 + C s + D s 2 - 2 s + 2

Cortando o denominador, podemos dizer que:

s = A s + B s 2 - 2 s + 2 + C s + D s 2 + 1 = s

Multiplicando os termos:

A + C s 3 + - 2 A + B + D s 2 + 2 A - 2 B + C s + 2 B + D = s

Podemos reorganizar de acordo com os coeficientes em comum:

A + C = 0

Então A = - C .

- 2 A + B + D = 0

2 A - 2 B + C = 1

2 B + D = 0

Então: D = - 2 B

Reorganizando algumas fórmula, podemos dizer que:

- 2 A + B + - 2 B = 0

2 A - 2 B + ( - A ) = 1

Podemos montar um sistema em que:

- 2 A - B = 0

- 2 B + A = 1

Multiplicando a segunda equação por 2, teremos :

- 2 A - B = 0

- 4 B + 2 A = 2

Somando :

- 5 B = 2

B = - 2 5

Substituindo em A :

A = 1 + 2 B = 1 - 4 5 = 1 5

C = - A

C = - 1 5

D = - 2 B

D = 4 5

Substituindo nas frações parciais:

f s = 1 5 s - 2 5 s 2 + 1 + - 1 5 s + 4 5 s - 1 2 + 1 + s - 2 s - 1 2 + 1

Reorganizando e separando termos:

f s = 1 5 . s s 2 + 1 - 2 5 . 1 s 2 + 1 - 1 5 . s - 4 s - 1 2 + 1 + s - 1 - 1 s - 1 2 + 1

Então, reorganizando novamente e separando a terceira e a última fração :

f s = 1 5 . s s 2 + 1 - 2 5 . 1 s 2 + 1 - 1 5 . s - 1 s - 1 2 + 1 - 3 5 . 1 s - 1 2 + 1 + s - 1 s - 1 2 + 1 - 1 s - 1 2 + 1

Passo 4

Agora, que já temos nossa função no domínio s ,   devemos usar a transformação de Laplace inversa para retornar para o domínio t :

Utilizando a tabela de transformação de Laplace, podemos dizer que:

s s 2 + a 2 = cos ⁡ a t

a s 2 + a 2 = sen ⁡ a t  

s - a s - a 2 + b 2 e a t cos ⁡ b t

b s - a 2 + b = e a t sen ⁡ b t

Quando a = 1 = b :

f t = 1 5 cos ⁡ t - 2 5 sen ⁡ t - 1 5 e t cos ⁡ t + 3 5 e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t

Então, somando os termos em comum:

f t = 1 5 cos ⁡ t - 2 5 sen ⁡ t + 4 5 e t cos ⁡ t - 2 5 e t sen ⁡ t

Resposta

f t = 1 5 cos ⁡ t - 2 5 sen ⁡ t + 4 5 e t cos ⁡ t - 2 5 e t sen ⁡ t

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