1.

Resolva o problema de valor inicial

y ' ' + 4 y = 2 t ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Resolução
2.

Use transformadas de Laplace para resolver o seguinte problema do valor inicial

y ' + y = - t sen ⁡ t

Com y 0 = 0

Resolução
3.

Considere o seguinte PVI:

x ' ' + 6 x ' + 18 x = 25 e t ,   x 0 = 1 ,   x ' 0 = 4

Resolva usando transformada de Laplace.

Resolução
4.

Considere o PVI:

2 y ' ' + 5 y ' + 2 y = cos ⁡ ( 3 t ) ,   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 4

a) Ache a transformada de Laplace da solução deste PVI.

b) Expresse a solução particular y ( t ) do PVI em função de uma convolução

Resolução
5.

Resolva o problema de valor inicial

y "   +   2 y '   +   2 y   = δ ( t - π ) , y 0 =   y ' 0 = 1

Resolução
6.

( c ) Resolva o problema de valor inicial

y ' ' + 4 y = 2 t ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Resolução
7.

Considere o p.v.i.

2 y ' + y = f t

Com

y 0 = 1

Usando transformada de Laplace mostre que a solução é

y t = e - t / 2 + h t ∫ 0 t f τ e τ / 2 d τ

Onde

h t = 1 2 e - t / 2

Resolução
8.

Use transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:

y ' ' + 9 y = cos ⁡ 3 t , y 0 = 2 ,       y ' 0 = 5

Resolução
9.

Resolva o PVI usando a transformada de Laplace

y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0 ,   y ' 0 = 6 ,   y 0 = 0

Dica:

L - 1 1 s + a 2 t = t e - a t

Resolução
10.

Resolve por transformada de Laplace o seguinte PVI

x ' ' + 4 x ' + 4 x = 1 + δ 2 ( t )

onde x 0 = 0 e x ' 0 = 0 .

Resolução
11.

Determine a solução da equação diferencial linear de 2ª ordem não-homogêneacom coeficientes lineares, tomando y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 .

y ' ' + t y ' - 2 y = 1

Resolução
12.

Determine a solução do problema de valor inicial:

y ' + 3 y = 2 ,     0 < t < 1 1 ,     t > 1 , y 0 = 3

Resolução
13.

Questão 2: Faça o que se pede em cada item:

  1. Utilizando a transformada de Laplace, resolva o PVI dado por y = y ' t .

y ' ' + 4 y = 0 ,                             t < 1   t - 1 2 ,           1 ≤ t

E condições iniciais y 0 = 0 e y ' 0 = 1 .

Resolução
14.

Aplicando a Transformada de Laplace na ED:

d 2 y d t 2 - 7   d y d t + 12 y t =   0

Com as condições y 0 = 1   e y ' 0 = - 1 , indique a resposta correta:

      Y s = s + 8 s 2 - 7 s + 12

      Y s = s - 8 s 2 - 7 s - 12

      Y s = s - 8 s 2 + 7 s + 12

      Y s = s - 5 s 2 - 7 s + 12

      Y s = s - 8 s 2 - 7 s + 12

Resolução
15.

4) Encontre, via Transformada de Laplace, uma função y = y x tal que

y ' + 4 y + 5 ∫ 0 t y τ d τ = e - t ,           y 0 = 0 .

Resolução
16.

Resolva o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace

y ' ' + 2 t y ' - 4 y = 1 ,               y ' 0 = 0 ,                 y 0 = 0

Dicas: Quanto vale lim s → ∞ ⁡ L f t s ? Para achar L - 1 , lembre o que é L t 2 s , faça com cuidado!

Resolução
17.

( b ) Resolva o PVI

y ' ' + y ' - 2 y = 1 y 0 = y ' 0 = 0

via transformada de Laplace.

Resolução

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