Enunciado

Utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada: y = t t

Passo 1

O enunciado pede para utilizar a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação a x. Assim, vamos utilizar a seguinte propriedade dos expoentes:

a b =   e b l n   a

Sabendo disso, vamos reescrever o termo t t . Beleza?

t t = e t ln ⁡ t

Passo 2

Agora, vamos derivar em ambos os lados da equação e em seguida utilizar a regra da cadeia:

d y d t = d d t e t ln ⁡ t

Aplicando a regra da cadeia:

d f ( u ) d t =   d f d u . d u d t

Considere f = e u e u =   e t ln ⁡ t

d f d u =   e u

Para derivar o termo   t ln ⁡ t , utilizamos a regra do produto, Beleza?

d u d t = 1 2 t ln ⁡ t +   t   .   1 t

d u d t = ln ⁡ t 2 t +   1 t

Passo 3

Agora, apenas vamos substituir os valores encontrados:

d y d t =   e t t ln ⁡ t . ln ⁡ t 2 t +   1 t  

Lembre que t t = e t ln ⁡ t então substituímos esse valor também. Certo?

d y d t = t t   . ln ⁡ t 2 t +   1 t

Resposta

d y d t = t t   . ln ⁡ t 2 t +   1 t

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