Enunciado

Utilize a fórmula de Taylor com a = 0 e n = 3 para encontrar a aproximação cúbica padrão de f x = 1 / ( 1 - x ) em x = 0 . Dê um limitante superior para a magnitude de erro na aproximação quando | x | ≤ 0,1 .

Passo 1

Falaaa meus queridos! Tudo bom com vocês? Eu espero que sim! Vamos lá detonar mais uma questãozinha!

Pelo enunciado, temos:

f x = 1 - x - 1

Então, temos que:

f ' x = 1 - x - 2

Na sequência, teremos que:

f ' ' x = 2 1 - x - 3

E por sua vez:

f 3 x = 6 1 - x - 4

Ainda na sequência, temos:

f 4 x = 24 1 - x - 5

Passo 2

Portanto, podemos concluir que:

1 1 - x ≈ 1 + x + x 2 + x 3

Ou seja:

x < 0.1

Logo, temos o seguinte intervalo:

10 11 < 1 1 - x < 10 9

Ou seja:

1 1 - x 5 < 10 9 5

Então temos:

x 4 1 - x 5 < x 4 10 9 5

Passo 3

O erro então é menor ou igual a:

e 3 ≤ max ⁡ f 4 x x 4 4 !

Por sua vez, desenvolvendo matematicamente, temos que:

e r r o < 0,00017

Uma vez que:

f 4 x x 4 4 ! = 1 1 - x 5

Resposta

e r r o < 0,00017

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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