Enunciado

Utilize operações de séries de potencias para encontrar a série de Taylor em x = 0 para a função ln ⁡ 1 + x - ln ⁡ ( 1 - x ) .

Passo 1

Olá galera! Temos na expressão dada dois logaritmos e sabemos que as suas derivadas podem ser representadas por uma série geométrica.

Passo 2

d d x ln ⁡ 1 + x = 1 1 + x = 1 1 - ( - x ) = ∑ n = 0 ∞ ( - x ) n = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n

ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ∫ ( - 1 ) n x n d x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n + 1 n + 1

ln ⁡ 1 + x = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + …

Passo 3

d d x ln ⁡ 1 - x = - 1 1 - x = - ∑ n = 0 ∞ x n

ln ⁡ 1 - x = - ∑ n = 0 ∞ ∫ x n d x = - ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1

ln ⁡ ( 1 - x ) = - x - x 2 2 - x 3 3 - x 4 4 - …

Passo 4

Usando a operação de subtração entre as duas séries, teremos

ln ⁡ ( 1 + x ) - ln ⁡ 1 - x = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + … - - x - x 2 2 - x 3 3 - x 4 4 - …

ln ⁡ ( 1 + x ) - ln ⁡ 1 - x = 2 x + 2 3 x 3 + 2 5 x 5 + 2 7 x 2 + …

ln ⁡ 1 + x - ln ⁡ ( 1 - x ) = 2 ∙ x + x 3 3 + x 5 5 + x 7 7 + …

ln ⁡ ( 1 + x ) - ln ⁡ 1 - x = 2 ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1

Resposta

ln ⁡ ( 1 + x ) - ln ⁡ 1 - x = 2 ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1

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