Enunciado

Encontre os quatro primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin para as funções ln ⁡ ( 1 + x ) 1 - x

Passo 1

Olá galeraaa! Aqui podemos encontrar as séries de Maclaurin de cada uma das funções que constituem este produto de funções e depois operar com elas através da multiplicação.

Passo 2

Sabemos que a derivada da função ln ⁡ ( 1 + x ) pode ser representada por uma série geométrica. Assim,

d d x ln ⁡ 1 + x = 1 1 + x = 1 1 - ( - x ) = ∑ n = 0 ∞ ( - x ) n = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n

ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ∫ ( - 1 ) n x n d x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n + 1 n + 1

ln ⁡ 1 + x = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + x 5 5 - …

Passo 3

Sabemos que a derivada da função - ln ⁡ ( 1 - x ) pode ser representada por uma série geométrica. Assim,

- d d x ln ⁡ 1 - x = 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + …

Passo 4

Multiplicando a primeira série por cada termo da segunda série teremos,

ln ⁡ ( 1 + x ) ∙ 1 1 - x = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + x 5 5 - … ∙ ( 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + … )    

= x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + x 5 5 - … + x 2 - x 3 2 + x 4 3 - x 5 4 + x 6 5 - …

+ x 3 - x 4 2 + x 5 3 - x 6 4 + x 7 5 - … + x 4 - x 5 2 + x 6 3 - x 7 4 + x 8 5 - …

+ x 5 - x 6 2 + x 7 3 - x 8 4 + x 9 5 - …

ln ⁡ ( 1 + x ) 1 - x = x + x 2 2 + 5 6 x 3 + 7 12 x 4 + …

Resposta

ln ⁡ ( 1 + x ) 1 - x = x + x 2 2 + 5 6 x 3 + 7 12 x 4 + …

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