Enunciado

Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28.

x 2 2 - 1 + cos ⁡ x

Passo 1

Iaiii pessoal, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

A série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

c o s   x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - … + - 1 n x 2 n ( 2 n ) ! + …

Assim, conhecendo esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

c o s   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) !

Passo 2

O que ajuda a entender o que estamos fazendo é relacionar essa série com a pedida, justificando assim:

x 2 2 - 1 + cos ⁡ x = x 2 2 - 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) !

Sendo assim, podemos escrever os termos da nossa série como:

x 2 2 - 1 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! = x 2 2 - 1 + 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + x 8 8 ! - x 10 10 ! + …

Passo 3

Podemos então perceber que a função da nossa série é a seguinte:

x 2 2 - 1 + cos ⁡ x = ∑ n = 2 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) !

E dessa forma, podemos escrever os primeiros termos da série pedida na questão:

∑ n = 2 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) ! = x 4 4 ! - x 6 6 ! + x 8 8 ! - x 10 10 ! + …

Resposta

∑ n = 2 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) ! = x 4 4 ! - x 6 6 ! + x 8 8 ! - x 10 10 ! + …

Valeu galera! Até a próxima questão!

Exercícios de Livros Relacionados

Se você integrar termo a termo a série do Exercício 49, qual nova série você obtém? Para quais valores de x a nova série converge? E qual é o outro nome para sua soma?
Soma da série ∑ n = 0 ∞ n 2 2 n - Para encontrar a soma dessa série, expresse 1 1 - x como uma série geométrica, derive ambos os lados da equação resultante em relação a x , multiplique ambos os lados
A série e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + x 5 5 ! + … Converge para e x para todo x .a. Encontre a série para d d x e x . Você obtém a série para e x ? Explique sua resposta.b. Encontre uma
Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28. x 2 s e nx