Enunciado

Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28.

1 1 - x 2

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

Podemos escrever essa mesma série do enunciado como: 1 1 - x 2 = d d x 1 1 - x

A série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + … + x n + …

Conhecendo esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Passo 2

Podemos então adaptar os termos da série do enunciado para o que a gente conhece, assim:

1 1 - x 2 = 1 + 2 x + 3 x 2 + …

Podemos assim escrever a função da nossa série:

1 1 - x 2 = ∑ n = 0 ∞ n x n - 1

Passo 3

Temos então que:

∑ n = 0 ∞ n x n - 1 = 1 + 2 x + 3 x 2 + …

Resposta

∑ n = 0 ∞ n x n - 1 = 1 + 2 x + 3 x 2 + …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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