Enunciado

(a) Ache uma representação em série de potências para

f x = ln ⁡ ( 1 + x )

Qual é o raio de convergência?

(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para

f x = x ln ⁡ ( 1 + x )

(c) Use o item (a) para achar uma série de potências

f x = ln ⁡ ( x 2 + 1 )

Passo 1

(a) Beleza, pessoal? Note o seguinte:

f x = ln ⁡ ( 1 + x ) = ∫ 1 1 + x   d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n + 1   = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x n

O raio de convergência da série deve ser o mesmo da série que foi integrada, então R = 1 , ok?

Passo 2

(b) Agora olha só, vamos aproveitar o item (a):

f x = x ln ⁡ ( 1 + x ) = x ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x n + 1 = ∑ n = 2 ∞ - 1 n n - 1 x n

Passo 3

(c) Galera, a função f x desse item é quase igual à função f x do item (a), a única diferença é que foi trocado x por x 2 . Da mesma forma então, podemos usar a mesma série de potências obtida no item (a), apenas tendo o cuidado de trocar x por x 2 , beleza?

f x = ln ⁡ ( x 2 + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n ( x 2 ) n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x 2 n

Resposta

(a) ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x n

R = 1

(b) ∑ n = 2 ∞ - 1 n n - 1 x n

(c) ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x 2 n

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(a) Use derivação para encontrar a representação em série de potências para f x = 1 1 + x 2 Qual é o raio de convergência?(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para f x = 1 1 + x 3
Expresse a função como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência. f x = 3 x 2 - x - 2
Use uma série de potências para aproximar a integral definida com a precisão de seis casas decimais ∫ 0 0,2 d x 1 + x 6
Mostre que a função f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! É uma solução da equação diferencial f ' ' x + f x = 0
Use uma série de potências para aproximar a integral definida com a precisão de seis casas decimais. ∫ 0 1 3 x 2 t g - 1 x 4 d x