Enunciado

Utilize seu SCA para calcular as integrais iteradas

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d y   d x                     e                     ∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d x   d y

Suas respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique o que acontece.  

Passo 1

Beleza, pessoal? Utilizando um SCA, calculamos as integrais:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d y   d x = 1 2                     e                     ∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d x   d y = - 1 2

Passo 2

Segundo o Teorema de Fubini, dentro de determinadas condições, mudar a ordem de integração não altera o valor da integral. Ou seja, aparentemente, as integrais calculadas no item anterior deveriam ter o mesmo valor, pois apenas mudamos a ordem integração.

Isso parece ser uma contradição né? Mas não!

A função a ser integrada x - y x + y 3 tem uma descontinuidade no ponto 0 ,   0 , sendo não limitada no seu retângulo R = 0 ,   1 × 0 ,   1 , pois x - y x + y 3 diverge para no ponto ( 0 ,   0 ) . Isso então viola as condições do Teorema de Fubini, e portanto não podemos aplicá-lo a esta situação.

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d y   d x = 1 2                     e                     ∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d x   d y = - 1 2

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Utilizando o Exercício 2, calcule: c )∬ A x ln ⁡ yd x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 2 .
Utilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A x y e x 2 - y 2d x d y , onde A é o retângulo - 1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 3 .
Sejam f ( x ) e g ( y ) duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos [ a , b ] e [ c , d ] . Prove que ∬ A f x g y d x d y = ∫ a b f x d x ∫ c d g y d y
Utilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A x ys e nx 1 + 4 y 2d x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ 1 .
Utilizando o Exercício 2, calcule: ∬ A x c o s2 yd x d y , onde A é o retângulo 1 ≤ x ≤ 1 , - π 4 ≤ y ≤ π 4 .