Enunciado

Utilize séries para aproximar os valores das integrais nos Exercícios 69-72 com um erro de magnitude menor que 10 - 8 . (A seção de respostas fornece os valores das integrais arredondados para 10 casas decimais.)

69. ∫ 0 1 2 e - x 3   d x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a integral pode ser escrita da seguinte forma

∫ 0 1 2 e - x 3   d x = ∫ 0 1 2 1 - x 3 + x 6 2 ! - x 9 3 ! + x 12 4 ! - …   d x

Resolvendo a integral, obtemos que

∫ 0 1 2 e - x 3   d x = x - x 4 4 + x 7 7 ∙ 2 ! - x 10 10 ∙ 3 ! + x 13 13 ∙ 4 ! - … 0 1 2

Com isso, nós temos que

∫ 0 1 2 e - x 3   d x = 1 2 - 1 2 4 ∙ 4 + 1 2 7 ∙ 7 ∙ 2 ! - 1 2 10 ∙ 16 ∙ 5 ! + …

Claramente, a série do lado direito é uma série alternada. Do Teorema de Estimação de Séries Alternadas sabemos que para a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 u n se nós aproximamos por S n - 1 então, podemos considerar um erro

L - S n < u n + 1  

Onde

S n = u 1 - u 2 + … + - 1 n - 1 u n

Passo 2

Se u n < 10 - 8 , então, S n - 1 nos dá a aproximação necessária da série ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 u n .

Obs: Isso significa que, para uma série alternada, o erro é menor que o primeiro termo negligenciado, então continue calculando até que os termos fiquem menores que 10 - 8 . Claramente o enésimo termo da série da mão direita é

- 1 n - 1 2 3 n - 2 ∙ 3 n - 2 ∙ n - 2 !

Agora temos que encontrar o menor valor de n tal que

1 2 3 n - 2 ∙ 3 n - 2 ∙ n - 2 ! < 10 - 8 → n ≥ 7

O cálculo direto indica que temos que adicionar primeiro n - 1 = 6 termos para garantir que o erro de magnitude seja menor que 10 - 8 . Portanto, nós temos que

∫ 0 1 2 e - x 3   d x ≈ 1 2 - 1 2 4 ∙ 4 + 1 2 7 ∙ 7 ∙ 2 ! - 1 2 10 ∙ 1 0 ∙ 5 ! + …

Com isso, nós temos que

∫ 0 1 2 e - x 3   d x ≈ 0,48491743

Com um erro de magnitude menor que 10 - 8 .

Resposta

∫ 0 1 2 e - x 3   d x ≈ 0,48491743

Exercícios de Livros Relacionados

Use séries para calcular o limite.underset(x - 0)(lim) (sen x - x + (1)/(6) x^3)/(x^5)
Utilize séries para aproximar os valores das integrais nos Exercícios 69-72 com um erro de magnitude menor que 10 - 8 . (A seção de respostas fornece os valores das integrais arredondados para 10 casa
Utilize séries para aproximar os valores das integrais nos Exercícios 69-72 com um erro de magnitude menor que 10 - 8 . (A seção de respostas fornece os valores das integrais arredondados para 10 casa
Utilize séries para aproximar os valores das integrais nos Exercícios 69-72 com um erro de magnitude menor que 10 - 8 . (A seção de respostas fornece os valores das integrais arredondados para 10 casa