Enunciado

Use séries para calcular o limite.

underset(x -> 0)(lim) (sen x - x + (1)/(6) x^3)/(x^5)

Passo 1

Para calcular o limite vamos substituir sen x por sua série

sen x = sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/((2 n + 1) !) = x - (x^3)/(3 !) + (x^5)/(5 !) - (x^7)/(7 !) + ...

Substituindo no limite

underset(x -> 0)(lim) (sen x - x + (1)/(6) x^3)/(x^5) = underset(x -> 0)(lim) ((x - (x^3)/(3 !) + (x^5)/(5 !) - (x^7)/(7 !) + ...) - x + (1)/(6) x^3)/(x^5)

Passo 2

Temos que os dois primeiros termos da série se concelam com o polinômio fora do parênteses, então nosso limite é

underset(x -> 0)(lim) ((x^5)/(5 !) - (x^7)/(7 !) + ...)/(x^5)

Colocando x^5 em evidencia no numerador

= underset(x -> 0)(lim) (x^5 ((1)/(5 !) - (x^2)/(7 !) + ...))/(x^5) = underset(x -> 0)(lim) ((1)/(5 !) - (x^2)/(7 !) + ...)

= (1)/(5 !)

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (sen x - x + (1)/(6) x^3)/(x^5) = (1)/(5 !)

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