Enunciado

Utilize o teorema de Green para encontrar a circulação anti-horária e o fluxo exterior para os campos e curvas nos Exercícios 49 e 50.

Triângulo F = y - 6 x 2 i + x + y 2 j . C: O triângulo formado pelas retas y = 0, y = x e x = 1.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos anotar o que nos foi fornecido pelo enunciado

M = y - 6 x 2

N = x + y 2

No intervalo

0 ≤ x ≤ 1 ,     0 ≤ y ≤ x

Para calcular a circulação no sentido anti-horário e o fluxo externo usando o Teorema de Green, temos que encontrar as seguintes derivadas parciais:

∂ M ∂ x = ∂ ∂ x y - 6 x 2 = - 12 x

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y y - 6 x 2 = 1

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x x + y 2 = 1

∂ N ∂ y = ∂ ∂ y x + y 2 = 2 y

Passo 2

Agora, usando o Teorema de Green

F l u x o   e x t e r n o =   ∫ 0 1 ∫ 0 x ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y   d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 x - 1 2 x + 2 y   d x   d y

A integral do lado direito pode ser simplificada da seguinte forma

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y   d x d y = ∫ 0 1 - 1 2 x y + y 2 0 x = ∫ 0 1 - 12 x 2 + x 2 d x = ∫ 0 1 - 11 x 2   d x

Simplificando um pouco mais os termos

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y   d x d y = - 11 x 3 3 0 1 = - 11 3

Passo 3

Fluxo circulante - usando o Teorema de Green

C i r c u n l a n t e =   ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y   d x d y

Que será igual a

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 - 1   d x   d y = 0

Com isso, nós temos que

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = 0

Resposta

F l u x o   e x t e r n o = - 11 3

C i r c u n l a n t e = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R
Seja C a fronteira de uma região na qual o teorema de Green é válido. Utilize o teorema de Green para calculara. ∮C f ( x ) d x + y ( y ) d y b. ∮C k y d x + h x d y( k e h constantes).
Utilize a fórmula da área do teorema de Green fornecida acima para encontrar as áreas das regiões delimitadas pelas curvas nos Exercícios 25-28A astroide r(t) = (cos3 t)i + (sen3 t)j, 0 ≤ t ≤ 2p
Aplique o teorema de Green para calcular as integrais nos Exercí-cios 21-24 ∮ C 2 x + y 2 d x + ( 2 x y + 3 y ) d y C: Qualquer curva fechada simples no plano para o qual o teorema de Green é válido.
Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C. F = x 1 + y 2 i + tg - 1 ⁡ y j