Enunciado

Seja C a fronteira de uma região na qual o teorema de Green é válido. Utilize o teorema de Green para calculara. ∮   C f ( x ) d x + y ( y ) d y b. ∮   C k y d x + h x d y   ( k e h constantes).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício já sabemos, pelo teorema de Green, que:

∮     C M d y + N d x = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y

Assim, você vai utilizar essa fórmula para calcular as seguintes integrais:(a) ∮   C f ( x ) d x + g ( y ) d y e (b) ∮   C k y d x + h x d y (com k , h constantes), onde C é a fronteira de uma região na qual o teorema de Green é válido.

Passo 2

(a)Inicie determinando os valores de M e N :

M = f ( x ) , N = g ( y )

A seguir, determine as derivadas parciais de M e N :

∂ M ∂ y = 0 , ∂ N ∂ x = 0

Substitua os valores encontrados em ∮   C M d y + N d x = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y :

∮     C f ( x ) d x + g ( y ) d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∬ R   0 d x d y = 0

Dessa forma, chegamos ao resultado da integral de ∮   C f ( x ) d x + g ( y ) d y a qual será zero.

Passo 3

(b)Inicie determinando os valores de M e N :

M = k y , N = h x

A seguir, determine as derivadas parciais de M e N :

∂ M ∂ y = k , ∂ N ∂ x = h

Substitua os valores encontrados em ∮   C M d y + N d x = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y :

∮     C k y d x + h x d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∬ R   ( h - k ) d x d y = ( h - k )

Dessa forma, você vai descobrir a integral de ∮   C k y d x + h x d y a qual será ( h - k ) .

Resposta

Resposta nos passos.

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