Enunciado

Que valor de a faz f x = x 2 + a x ter:

a ) um mínimo local em x = 2 ?

b ) um ponto de inflexão quando x = 1 ?

Passo 1

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que achar os pontos críticos e usar o teste da segunda derivada.

Primeiro fazemos:

f x = x 2 + a x

Escrevendo a fração como potência:

f x = x 2 + a x - 1

Derivando f ,

f ' = 2 x - a x - 2

Fazendo isso igual a 0

2 x - a x - 2 = 0

a x - 2 = 2 x

a x 2 = 2 x

x 3 = a 2

x = a 2 3

Passo 2

Aplicando o teste da segunda derivada, precimos da segunda derivada. Se ela for positiva temos um valor de mínimo, se ela for negativa temos um valor de máximo loca.

f ' = 2 x - a x - 2

Derivando:

f ' ' = 2 + 2 a x - 3

Substituindo o valor de x que achamos:

f ' ' = 2 + 2 a a 2 3 - 3

f ' ' = 2 + 2 a 2 a 3 3

f ' ' = 2 + 2 a 2 a

f ' ' = 2 + 4

f ' ' = 6

Então na verdade essa função sempre tem mínimo local, independente de a . Mas ele quer que seja em x = 2 , então basta olharmos agora que o ponto crítico seja 2

a 2 3 = 2

a 2 = 8

a = 16

Passo 3

Para o ponto de inflexão, vamos olhar a segunda derivada:

f ' ' = 2 + 2 a x - 3

Ele quer que 1 seja ponto de inflexão, logo devemos ter a segunda derivada em 1 sendo 0 . E isso vai ser o suficiente, porque essa expressão vai mudar de sinal quando ela zerar por conta daquele x - 3 .

Fazendo

x = 1

Vamos ter:

2 + 2 a 1 - 3 = 0

2 + 2 a = 0

2 a = - 2

a = - 1

Resposta

Letra a

a = 16

Letra b

a = - 1

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