Enunciado

Uma caixa aberta com uma base quadrada deve ter um volume de 4000   c m 3 . Ache as dimensões da caixa que posso ser fabricada com um mínimo de material.

Passo 1

Seja a caixa como da figura abaixo:

Onde os lados da base medem a   c m e a altura mede b   c m . O volume desta caixa é dado por:

V = a . a . b ⇒

V = a 2 b

Como, por hipótese, a caixa tem volume de 4000   c m 3 temos:

a 2 b = 4000 ⇒

b = 4000 a 2 ( 1 )

Note que, como a e b são medidas dos lados da caixa temos a > 0 e b > 0 .

Passo 2

Vamos determinar a área total da caixa.

→   Área da base: a 2 ;

Área lateral: 4 a b ;

Área total: A = a 2 + 4 a b .

De (1):

A = a 2 + 4 a 4000 a 2 ⇒

A = a 2 + 16000 a

Como a equação da área só depende da variável a podemos reescrever:

A a = a 2 + 16000 a ⇒

A a = a 2 + 16000 a - 1

Passo 3

Derivando A ( a ) temos:

A ' a = 2 a - 16000 a - 2 ⇒

A ' a = 2 a - 16000 a 2

Como A ' existe para todo a > 0 , temos que os pontos críticos de A ocorrem quando A ' a = 0 . Assim:

A ' a = 0 ⇒

2 a - 16000 a 2 = 0 ⇒

2 a = 16000 a 2 ⇒

2 a 3 = 16000 ⇒

a 3 = 16000 2

a 3 = 8000

a = 8000 3

a = 20

Passo 4

Vamos fazer o estudo de sinal da derivada em torno de a = 20 . Assim:

Se a < 20 temos A ' a < 0 , logo A ( a ) é decrescente;

Se a > 20 temos A ' a > 0 , logo A ( a ) é crescente.

Logo, em a = 20 temos um ponto de mínimo da função A ( a ) . Substituindo em (1) temos:

b = 4000 20 2 ⇒

b = 4000 400 ⇒

b = 10

Resposta

Portanto, uma caixa aberta com uma base quadrada com volume de 4000   c m 3 deve ter 20   c m de comprimento do lado da base e 10   c m de altura para gastar o mínimo de material.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma horta de ervilhas retangular com 216m 2 será cercada e dividida em duas parte iguais por outra cerca paralela a um dos lados. Quais as dimensões do retângulo externo que exigirão a menor quantidad
Você está preparando um pôster retangular que deverá conter 50p o l . 2 de material impresso, com margens superior e inferir de 4p o l . Cada uma e margens à direita e À esquerda de 2p o l . cada uma
Um tanque retangular com 1125p ê s 2 ê de capacidade, de base quadrada, medindo x pés de lado e y pés de profundidade, será construído com a parte superior nivelada com o solo para captar água pluvial
Dois lados de um triângulo medem a e b , e o ângulo entre eles é de θ . Qual é o valor de θ que maximizará a área do triângulo.Dica: A = 1 2 a b sen ⁡ θ
Quais são as dimensões da lata mais leve em forma de cilindro reto, sem tampa, que pode conter 1000 c m 3 ? Compare o resultado com o exemplo 2