Enunciado

a) Para quais valores de x   a função

f x = x 2 - 9

é derivável? Ache uma formula para f '

b) Esboce os gráficos de f e f ' .

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Nesse problema queremos saber os valores de x   a função

f x = x 2 - 9

é derivável e queremos tambem obter uma formula para f ' .

E para fazer isso, o ideal é endender direitinho como essa função é definida de acordo com o seu domínio.

Podemos começar reescrevendo nossa função de modo a eliminar o modulo de f .

Note que

x 2 - 9   < 0 para x 2   < 9   ⇔   x   < 3     ⇔   - 3 < x < 3

Assim, podemos reescrevêla por partes, da seguinte forma:

f x x 2 - 9   ,     s e   x ≤   - 3 - x 2 + 9 ,     s e - 3   < x < 3 x 2 - 9 ,     s e   x ≥ 3

Boa, para que a função seja derivável, sua derivada deve existir para cada um de seus ponto.

E vemos que os pontos que podem ter algum problema são, justamente, os extremos de cada intervalo.

Sendo assim, vamos analisar o comportamento da derivada nessas regiões.

Vem comigo que te mostro como fazer isso.

Veja só!

Passo 2

Vamos começar derivadno cada uma das funções que temos, e como todas elas são formada por polinômios e constantes, usaremos a informação de que a derivada de uma constante é sempre igual a zero. E a derivada de uma função do tipo x n , será:

x n = n ⋅ x n - 1

Assim, para nossa função:

f x x 2 - 9   ,     s e   x ≤   - 3 - x 2 + 9 ,     s e - 3   < x < 3 x 2 - 9 ,     s e   x ≥ 3

Teremos:

x 2 - 9 ' = 2 x

- x 2 + 9 ' = - 2 x

Então, podemos escrever a derivada de f ( x ) como sendo:

f ' x 2 x ,     s e   x ≤   - 3 - 2 x ,     s e - 3   < x < 3 2 x ,     s e   x ≥ 3

Ou melhor:

f ' x = 2 x   ,     s e   x   > 3 - 2 x ,     s e     x   < 3

Passo 3

E aqui temos um problemas. Veja:

Para mostrar que f ’ ( 3 ) não existe usaremos

  lim h → 0 ⁡ f 3 + h - f 3 h  

E analisando as derivadas de cada lado, ficamos com. No lando esquerdo, temos:

  f ' -   3 = lim h → 0 - ⁡ f 3 + h - f 3 h  

l i m h → 0 -   - ( 3 + h ) 2 + 9 - 0 h

l i m h → 0 -   ( - 6 - h ) =   - 6

E para o lando direito:

  f ' +   3 = lim h → 0 + ⁡ f 3 + h - f 3 h  

l i m h → 0 +   ( 3 + h ) 2 - 9 - 0 h

l i m h → 0 + 6 h + h 2 h

lim h → 0 + ⁡ 6 + h = 6

Como f ' -   3   ≠   f ' +   3   , então podemos dizer que não existe derivada de f ' ( 3 ) .

Para x = - 3 , ocorre a mesma conclusão. Assim, f ( x ) é derivável para todo x ,exceto para x = 3 e x = - 3 .

Passo 4

  1. Gráficos de f e f ' :

Veja que realmente há uma descontinuidade no gráfico de f ' x , mostrando que a derivada não existe nesses pontos.

Resposta

f ( x ) é derivável para todo x ,exceto para x = 3 e x = - 3 .

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Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
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