Enunciado

Para quais valores de a e b a reta 2 x + y = b é tangente à parábola y = a x 2 quando x = 2 ?

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema queremos saber para quais valores de a e b a reta 2 x + y = b será tangente à parábola y = a x 2 num ponto onde a abcissa é igual a 2 , isto é, x 0 = 2 .

Sabemos que o coeficiente angular da reta tangente é dado por m =   y ' ( x 0 , y 0 ) = 2 a x 0 .

Basta derivar a equação da parábola e substituir x por x 0 . Porém, foi dado que x 0 = 2 , então, substituindo esse valor temos:

m = y ' 2 , y 0 = 2 a 2 = 4 a .

Veja só!

Passo 2

Pela equação da reta tangente que nos foi dada podemos tirar o valor de m . É só comparar, assim:

y = m x + q  

  2 x + y = b  

  y =   - 2 x + b  

m = - 2   ; q = b .

Logo, temos que m = 4 a = - 2   →     a = - 2 4 =   - 1 2 .

Agora dá para descobrirmos o valor de y 0 . Basta substituir todos os valores encontrados na equação da parábola , assim:

y = a x 2  

  y 0 = - 1 2 x 0 2

  y 0 = - 1 2 2 2 = - 2 .

Por fim, substituindo na equação da tangente, acharemos o valor de b :

2 x + y = b  

2 x 0 + y 0 = b  

2 2 + - 2 = b  

b = 2

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

a = - 2 4 =   - 1 2

b = 2

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