Enunciado

Para quais valores de x o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal?

34) f ( x ) = e x cos ⁡ x  

Passo 1

Olá, meu amigo, tudo certinho com você?

Essa questão pede pra gente dizer para quais valores de x   a função dada por

f ( x ) = e x cos ⁡ x  

Tem uma reta tangente horizontal.

A inclinação da reta tangente (o seu coeficiente angular) é obtida pela derivada da função

m t g = f ' ( x )

Quando a reta é horizontal a inclinação é zero, então precisamos achar o ponto onde a primeira derivada da função seja igual à zero.

Passo 2

Então vamos começar! Nesta função há uma multiplicação entre as funções, precisamos então nestes casos a Regra do Produto.

A regra do produto diz:

d g h d x = g d h d x + h d g d x

Para isso vamos chamar:

g x = e x

h x = cos ⁡ x  

Derivando:

g ' x = e x

h ' x = - sen ⁡ x  

Então:

f ' x = - e x sen ⁡ x   + e x cos ⁡ x  

Passo 3

Se a derivada precisa ser igual à zero:

- e x sen ⁡ x   + e x cos ⁡ x   = 0

Reorganizando:

e x cos ⁡ x   - sen ⁡ x   = 0

e x não pode ser zero, então apenas tentamos zerar a expressão entre parênteses:

cos ⁡ x   - sen ⁡ x   = 0

Então:

cos ⁡ x   = sen ⁡ x  

Vamos usar um artifício matemático para resolver essa igualdade, vamos elevar ambos os termos ao quadrado:

cos ² ⁡ x   = sen ² ⁡ x  

Lembrando que:

cos ² ⁡ x   = 1 - sen ² ⁡ x  

Substituindo:

1 - sen 2 ⁡ x   = sen ² ⁡ x  

2 sen ² ⁡ x   = 1 →   sen ² ⁡ x   = 1 2

Tirando a raiz:

sen ⁡ x   = ± 1 2

Racionalizando:

sen ⁡ x   = ± 2 2

Então:

x = 45 °   o u   x = 225 °

Em radianos:

x = π 4   o u   x = 5 π 4

Resposta

x = π 4   o u   x = 5 π 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se g x = f x s e nx , então g ' 0 = f ( 0 ) .
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = (1)/(1 + cos x)
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = cos sec x
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se f xc o sx = s e nx , então f ' x = sec 2 ⁡ x .
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o s x