Enunciado

Em cada item, determine onde f é diferenciável.

f (x) = cos sec x

Passo 1

Para uma função ser diferenciável em um ponto, vemos se a função é contínua no ponto e se a derivada dela é contínua nesse ponto.

Como queremos dizer onde nossa função é diferenciável, podemos ver onde isso não acontece, a partir dessas duas condições. Beleza? Vamos lá!

Passo 2

Olhando a primeira condição, podemos lembrar que:

cos sec x = (1)/(sen x)

Como isso é uma fração, sabemos que o denominador precisa ser diferente de 0 , para a função estar definida. Então:

sen x != 0 :. x != n pi

Sendo n um número inteiro. Daí a gente vê que nossa função não é diferenciável nesse conjunto de pontos.

Passo 3

Se olharmos para a derivada:

f^' (x) = - c o t g x c o s s e c x = - (c o s x)/(sen^2 x)

Temos o mesmo problema sen x != 0 . Por isso dizemos que nossa função é diferenciável para:

x != n pi , n = 0 , +- 1 , +- 2 , ...

Resposta

f ( x ) é diferenciável para x != n pi , n = 0 , +- 1 , +- 2 , ...

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