Em cada item, determine onde f é diferenciável.

f(x) = cos sec x

Passo 1

Para uma função ser diferenciável em um ponto, vemos se a função é contínua no ponto e se a derivada dela é contínua nesse ponto.

Como queremos dizer onde nossa função é diferenciável, podemos ver onde isso não acontece, a partir dessas duas condições. Beleza? Vamos lá!

Passo 2

Olhando a primeira condição, podemos lembrar que:

cos sec ⁡ x = 1 sen ⁡ x

Como isso é uma fração, sabemos que o denominador precisa ser diferente de 0 , para a função estar definida. Então:

sen ⁡ x ≠ 0 ∴ x ≠ n π

Sendo n um número inteiro. Daí a gente vê que nossa função não é diferenciável nesse conjunto de pontos.

Passo 3

Se olharmos para a derivada:

f ' x = - c o t g   x   c o s s e c   x = - c o s   x sen 2 ⁡ x

Temos o mesmo problema sen ⁡ x ≠ 0 . Por isso dizemos que nossa função é diferenciável para:

x ≠ n π ,     n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 , …

Resposta

f ( x ) é diferenciável para x ≠ n π   ,     n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 , …

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