Enunciado

Para quais valores de r a sequência {n r^n} é convergente?

Passo 1

Bom, pessoal. A gente tem que buscar valores de r que fazem essa sequência ser convergente.

Pra isso, vamos primeiro lembrar da sequência com razão geométrica: {r^n} diverge pra |r| > 1 ou r = - 1 .

Além disso, a sequência {n} diverge sempre. Se multiplicarmos duas sequências que divergem, a sequência resultante também vai divergir.

Ou seja, pra |r| > 1 ou r = - 1 , a sequência {n r^n} com certeza vai divergir.

Passo 2

Agora vamos calcular o limite da sequência para os valores de r que ainda nos restaram, beleza?

  • r = 1 :
  • underset(n -> oo)(l i m) a_n = underset(n -> oo)(l i m) n . 1^n = underset(n -> oo)(l i m) n = oo

    Achamos então que pra r = 1 , a sequência diverge.

  • |r| < 1 :

underset(n -> oo)(lim) a_n = underset(n -> oo)(lim) n r^n = underset(n -> oo)(l i m) (n)/(r^(- n))

Pra resolver esse limite, a gente pode usar L’Hôpital, lembrando que (r^(- n))^' = ( - log r ) r^(- n) :

underset(n -> oo)(l i m) a_n = underset(n -> oo)(l i m) (1)/(( - log r ) r^(- n)) = underset(n -> oo)(l i m) (r^n)/(( - log r )) -> (0)/(( - oo )) -> 0

Então a sequência converge pra |r| < 1 , certo?

Resposta

|r| < 1

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