Enunciado

Teoria e exemplos: É verdade que uma sequência { a n } de números positivos deve convergir se for limitada superiormente? Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala, galera! Ficaram com dúvida nessa questão? Então, vem comigo para gente resolver essa!

Para começar a resolver, vamos assumir que essa sequência de números positivos é crescente. Ou seja, temos que

a n   +   1   ≥   a n

para qualquer valor de n .

Passo 2

Agora que partimos desse ponto de vista, podemos supor que haverá um limitante superior M . Logo, a n   ≤   M . Com isso, podemos buscar um limite em que n   →   ∞ e podemos afirmar que

l i m n   →   ∞ a n   =   L

Logo, para um ϵ   >   0 , haverá uma cota menor que o limitante superior. Ou seja,

L   -   ϵ   <   L   ≤   M

Assim, L   -   ϵ não é um limitante superior para a n , segue que L - ϵ < a n . Como a sequência é crescente e

L - ϵ < a n ≤   a n + 1 < L   <   L   +   ϵ

isto é,

-   ϵ   <   a n - L   < ϵ  

⇒   | a n - L   |   < ϵ

Garantindo que existe l i m n   →   ∞ a n   =   L e que a sequência converge para um valor se ela for limitada superiormente.

Resposta

Ver a discussão acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.underset(n - + oo)(lim) (n + 1)/(n)
Calcule.underset(n - + oo)(lim) [(2)/(n) + ((3)/(5))^n]
Calcule.underset(n - + oo)(lim) [((- 1)^n)/(n) + 2]
Calcule.underset(n - + oo)(lim) (1 + 5^n)/(2 + 3^n)
Supondo que 0a1 , mostre queunderset(n - + oo)(lim) sum_(k = 1)^n a^k = (a)/(1 - a)