Enunciado

Vamos tratar, nesse problema, a questão de unicidade de solução para a equação integral (3),

ϕ t = ∫ 0 t f s ,   ϕ s d s .

  1. Suponha que ϕ e ψ são duas soluções da Eq. (3). Mostre que, para t ≥ 0 ,
  2. ϕ t - ψ t = ∫ 0 t f s ,   ϕ s - f s ,   ψ s d s .

  3. Mostre que
  4. ϕ t - ψ t ≤ ∫ 0 t f s ,   ϕ s - f s ,   ψ s d s .

  5. Use o resultado do Problema 15 para mostrar que

ϕ t - ψ t ≤ K ∫ 0 t f s ,   ϕ s - f s ,   ψ s d s .

em que K é uma cota superior para | ∂ f / ∂ y | em D . Essa equação é igual à Eq. (30), e a demonstração restante pode ser feita como indicado no texto.

Passo 1

Nesse problema, vamos usar resultados de exercícios anteriores com mais algumas suposições sobre nossas funções. Vamos também fazer manipulações utilizando integrais para conseguirmos chegar nas equações mostradas. Vamos lá!

Passo 2

  1. Temos que
  2. ϕ t = ∫ 0 t f s ,   ϕ s d s

    e

    ψ t = ∫ 0 t f s ,   ψ s d s

    Pelas propriedades das integrais, temos que

    ∫ a b ( f 1 x - f 2 x ) d x = ∫ a b f 1 x d x - ∫ a b f 2 x d x

    Aplicando essa propriedade para nosso caso, teremos que

    ϕ t - ψ t = ∫ 0 t f s ,   ϕ s d s - ∫ 0 t f s ,   ψ s d s = ∫ 0 t f s ,   ϕ s - f s ,   ψ s d s

    Passo 3

  3. Do resultado anterior, temos que
  4. ϕ t - ψ t = ∫ 0 t f s ,   ϕ s - f s ,   ψ s d s

    Por sorte, já fizemos bastante isso nos últimos três exercícios. Assim, aplicando o módulo em toda a expressão, teremos que

    ϕ t - ψ t ≤ ∫ 0 t f s ,   ϕ s - f s ,   ψ s d s

    Passo 3

  5. Como vamos usar o resultado do problema 15, sabemos que nossa f satisfaz a condição de Lipschitz. Assim

f t , y 1 - f t , y 2 ≤ K y 1 - y 2

Aplicando isso então no resultado do nosso item anterior, teremos que:

ϕ t - ψ t ≤ ∫ 0 t K ϕ s - ψ s d s

Como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 7 e 8, seja ϕ 0 t = 0 e use o método das aproximações sucessivas para resolver o problema de valor inicial dado.Determine ϕ n ( t ) para um valor arbitrário de n Faça o grá
Em cada um dos problemas de 9 e 10, seja ϕ 0 t = 0 e use o método das aproximações sucessivas para resolver o problema de valor inicial dado.Calcule ϕ 1 t , … , ϕ 3 t Faça o gráfico de ϕ 1 t , … , ϕ 3
Em cada um dos problemas de 3 a 6, seja ϕ 0 t = 0 e defina ϕ n t é pelo método das aproximações sucessivas.Determine ϕ n ( t ) para um valor arbitrário de n Faça o gráfico de ϕ n t = ϕ t para n = 1 ,
Em cada um dos problemas de 7 e 8, seja ϕ 0 t = 0 e use o método das aproximações sucessivas para resolver o problema de valor inicial dado.Determine ϕ n ( t ) para um valor arbitrário de n Faça o grá
Em cada um dos problemas de 3 a 6, seja ϕ 0 t = 0 e defina ϕ n t é pelo método das aproximações sucessivas.Determine ϕ n ( t ) para um valor arbitrário de n Faça o gráfico de ϕ n t = ϕ t para n = 1 ,