Enunciado

Em cada um dos problemas de 3 a 6, seja ϕ 0 t = 0 e defina ϕ n t é pelo método das aproximações sucessivas.

  1. Determine ϕ n ( t ) para um valor arbitrário de n
  2. Faça o gráfico de ϕ n t = ϕ t para n = 1 , … , 4 . Observe se os iterados parecer estar convergindo.
  3. Expresse lim n → ∞ ⁡ ϕ n t = ϕ t em termos de funções elementares, ou seja, resolva o problema de valor inicial dado.
  4. Faça o gráfico de | ϕ t - ϕ n t | para ϕ 1 t , … , ϕ 4 t , estime o intervalo em cada uma dessas funções é uma aproximação razoavelmente boa para a solução exata.

y ' = y + 1 - t ,       y 0 = 0

Passo 1

Se supusermos, temporatiamente, que existe uma função y = ϕ ( t ) que satifaz o problema de valor inicial, então f t , ϕ t é uma função contínui que só depende de t . Logo, podemos integrar y ' = f t , y do ponto inicial t = 0 até um valor arbitrário de t , obtendo

ϕ t = ∫ 0 t f s , ϕ s d s

Em que usamos a condição inicial ϕ 0 = 0 . Usamos também s para denotar a variável de integração.

Passo 2

(a) Assim vamos usar a suposição dada no passo 1 e prevista no Teorema 2.8.1 e vamos fazer que

ϕ n t = ∫ 0 t f s , ϕ n - 1 s d s

Assim tomando que ϕ 0 s = 0

ϕ 1 t = ∫ 0 t ϕ 0 s + 1 - s d s = t - t 2 2

Seguindo temos

ϕ 2 t = ∫ 0 t ϕ 1 s + 1 - s d s = ∫ 0 t - s 2 2 + 1 d s = - t 3 2 ⋅ 3 + t

ϕ 3 t = ∫ 0 t ϕ 2 s + 1 - s d s = ∫ 0 t - s 3 2 ⋅ 3 + 1 d s = - t 4 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + t

Se seguimos com a integração vamos achar sempre o próximo elemento como

- t 5 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 , - t 6 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 , … , - t n n !

Assim temos que

ϕ n t = - t n + 1 n + 1 ! + t

Passo 3

(b) Plotando o nosso pequeno graficozinho, onde temos que n = 2 → a z u l ,   n = 3 → L a r a n j a ,   n = 4 → V e r d e e n = 5 → v e r m e l h o

Passo 4

(c) Resolvendo o nosso problema de valor incial, temos que

y ' = y + 1 - t

Vamos trazer o y para a esquerda e muitiplicar tudo por e - t , assim teremos

e - t y ' - e - t y = ( 1 - t ) e - t

O termo da esqueda podemos resumir em

d d t e - t y = ( 1 - t ) e - t

Integrando tudo por t temos que o termo da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, onde a integral da derivada de uma primitiva é a própria primitiva, ou seja

e - t y = ∫ ( 1 - t ) ⋅ e - t d t

Integrando por partes, temos

e - t y = t e - t + C

O que implica em

y = t + C e t

Em y 0 = 0 → C = 0

Então temos que

lim n → ∞ ⁡ ϕ n t = t

Passo 5

(d) Segue o mesmo padrões de cores do passo 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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