Enunciado

Verificar se o campo de forças f → é conservativo. Em caso afirmativo, determinar uma função potencial para esse campo e calcular o trabalho que ele faz sobre uma partícula que se desloca de A ( 1 , - 1,0 ) a B 2,3 , 1 .

f → = y cos ⁡ x y + y e x y i ^ + x cos ⁡ x y + x e x y j ^ + k ^

Passo 1

Olá amiguinhos ...

Teremos que, para que um campo vetorial ser conservativo, uma das condições é que o rotacional seja nulo. Corrigindo um possível erro que o enunciado nos dá, é que somente saberemos se o caso é afirmativo se existir a função potencial, logo não podemos confirmar antes de procurá-la. Mas vamos começar.

O rotacional é definido como

∇ × f → = d e t i ^ j ^ k ^ ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z f x f y f z

= ∂ f z ∂ y - ∂ f y ∂ z i ^ - ∂ f z ∂ x - ∂ f x ∂ z j ^ + ∂ f y ∂ x - ∂ f x ∂ y k ^

Caso o rotacional for zero, seguimos o passo a passo para determinar a função potencial durante nosso exercício, ok?

Passo 2

Vamos calcular o rotacional da função dada

∇ × f → = ∂ ( 1 ) ∂ y - ∂ ( x cos ⁡ x y + x e x y ) ∂ z i ^ - ∂ ( 1 ) ∂ x - ∂ ( y cos ⁡ x y + y e x y ) ∂ z j ^ + ∂ ( x cos ⁡ x y + x e x y ) ∂ x - ∂ ( y cos ⁡ x y + y e x y ) ∂ y k ^  

= 0 i ^ - 0 j ^ + cos ⁡ x y - x y   s e n   x y + e x y + x y e x y - cos ⁡ x y + x y   s e n   x y - e x y - x y e x y k ^ = 0

E é com extrema tristeza que o rotacional de zero. Logo devemos caminhar em nosso problema e descobrir qual é a função potencial que leva ao nosso campo.

Passo 3

Dada uma função potencial, temos que a campo vetorial é definido como

∇ F = f →

Assim vamos seguir o caminho reverso para calcular nossa função potencial F .

A ideia é, quando aplicamos o gradiente , ∇ F , temos

∇ F = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z = f →

Assim fazemos

∂ F ∂ x = y cos ⁡ x y + y e x y → F = s e n   x y + e x y + C ( y , z )

Onde C y , z é uma constante que depende somente de y e z .

A ideia é, se derivarmos o que acabamos de encontrar deveríamos obter a componente y do nosso campo. Então vamos derivar

∂ s e n   x y + e x y + C ( y , z ) ∂ y = x cos ⁡ x y + y e x y + C ' y , z = f y =   x cos ⁡ x y + y e x y

O que nos leva a conclusão de que C ' y , z = 0 → C y , z = C ( z ) , ou seja, nossa constante não depende de y .

Agora se derivarmos em relação a z , devemos encontrar o valor de f z

∂ s e n   x y + e x y + C ( z ) ∂ z = C ' z = 1 → C z = z

Assim nossa função potencial é

F =   s e n   x y + e x y + z

Passo 4

Para calcular o trabalho, tomamos a integral

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F ( A ) = s e n   6 + e 6 + 1 - s e n - 1 + e - 1

Resposta

s e n   6 + e 6 + 1 + s e n   1 + 1 e

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

6. Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F x , y , z = y 2 ,z 2 , x ² ² Ao longo da curva obtida como interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 Com o cilindro x 2 + y 2 = a x Onde z ≥ 0,a
7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado e. F x , y , z = e y + 2 z ,x e y + 2 z ,2 x e y + 2 z
7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado c. F x , y = 3 x 2 + 2 y - y 2 e x ,2 x - 2 y e x
7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado d. F x , y , z = y + z ,x + z ,x + y
7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado f. F x , y , z = y sen ⁡ z ,x sen ⁡ z ,x y cos ⁡ z