Enunciado

Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para f → e o valor ∫ ( 0,0 , 0 ) ( a , b , c ) f → ⋅ d r → , onde a , b , c ∈   R

f → x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Passo 1

Olá amiguinhos ...

Teremos que, para que um campo vetorial ser conservativo, uma das condições é que o rotacional seja nulo. Corrigindo um possível erro que o enunciado nos dá, é que somente saberemos se o caso é afirmativo se existir a função potencial, logo não podemos confirmar antes de procurá-la. Mas vamos começar.

O rotacional é definido como

∇ × f → = d e t i ^ j ^ k ^ ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z f x f y f z

= ∂ f z ∂ y - ∂ f y ∂ z i ^ - ∂ f z ∂ x - ∂ f x ∂ z j ^ + ∂ f y ∂ x - ∂ f x ∂ y k ^

Caso o rotacional for zero, seguimos o passo a passo para determinar a função potencial durante nosso exercício, ok?

Passo 2

Vamos calcular o rotacional da função dada

∇ × f → = ∂ (   2 z ) ∂ y - ∂ ( 2 y ) ∂ z i ^ - ∂ ( 2 z ) ∂ x - ∂ ( 2 x ) ∂ z j ^ + ∂ ( 2 y ) ∂ x - ∂ ( 2 x ) ∂ y k ^  

= 0 - 0 i ^ - 0 - 0 j ^ + 0 - 0 k ^ = 0

E é com extrema tristeza que o rotacional de zero. Logo devemos caminhar em nosso problema e descobrir qual é a função potencial que leva ao nosso campo.

Passo 3

Dada uma função potencial, temos que a campo vetorial é definido como

∇ F = f →

Assim vamos seguir o caminho reverso para calcular nossa função potencial F .

A ideia é, quando aplicamos o gradiente , ∇ F , temos

∇ F = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z = f →

Assim fazemos

∂ F ∂ x = 2 x → F = x 2 + C ( y , z )

Onde C y , z é uma constante que depende somente de y e z .

A ideia é, se derivarmos o que acabamos de encontrar deveríamos obter a componente y do nosso campo. Então vamos derivar

∂ x 2 + C ( y , z ) ∂ y = C ' y , z = f y =   2 y

O que nos leva a conclusão de que C ' y , z = 2 y → C y , z = y 2 + C ( z ) , ou seja, nossa constante não depende de y .

Agora se derivarmos em relação a z , devemos encontrar o valor de f z

∂ x 2 + y 2 + C ( z ) ∂ z = C ' ( z ) = 2 z

E C ' z = 2 z → C ( z ) = z 2 + C

Assim nossa função potencial é

F =   x 2 + y 2 + z 2 + C

Passo 4

Para calcular o trabalho, tomamos a integral

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A = a 2 + b 2 + c 2

Resposta

a 2 + b 2 + c 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa ∫ - C f x , y d s = - ∫ C f x , y d s
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsaSe F e G são campos vetoriais, então r o tF
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsaExiste um campo vetorial F tal que r o tF =
Associe a equação vetorial utilizando os gráficos dados que vão de (a) até (h) r t = T i + 1 - T j , 0 ≤ T ≤ 1
Associe a equação vetorial utilizando os gráficos dados que vão de (a) até (h) r t = t i + t j + t k, 0 ≤ T ≤ 2