Enunciado

Verificar o teorema de Stokes para

g → = 4 y i ^ - x z j ^ + y z 2 k ^

Onde S é a superfície do paraboloide 2 z = x 2 + y 2 limitado por z = 8 e C é o seu contorno percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

O teorema de Stokes nos sugere que, dada uma superfície S orientável, suave por partes, delimitada por uma curva fechada, simples, suave por partes, C , então

∮ C g → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × g → ⋅ n →   d S

Onde n → é o vetor normal a superfície.

Passo 2

Vamos primeiro calcular o lado esquerdo da nossa equação. Em z = 8 temos que a nossa curva C é dada por

x 2 + y 2 = 16

O que nos sugere uma parametrização no sentido anti-horário

x = 4 cos ⁡ t

y = 4   s e n   t

z = 8

Onde temos que t ∈ [ 0,2 π ]

Assim temos a nossa integral como

∮ 0 2 π 16   s e n   t ,   - 32 cos ⁡ t ,   256   s e n   t ⋅ - 4   s e n   t ,   4 cos ⁡ t , 0 d t

∮ 0 2 π ( - 64   s e n 2 t - 128 cos 2 ⁡ t )   d t

Podemos transformando nosso seno e cosseno ao quadrado em

s e n 2 t = 1 2 1 - cos ⁡ 2 t   e cos 2 ⁡ t = 1 2 1 + cos ⁡ 2 t

Ficando assim com

32 ∮ 0 2 cos ⁡ 2 t - 1 - 2 cos ⁡ 2 t + 1 d t

32 ∮ 0 2 π - cos ⁡ 2 t - 3 d t = 32 - 3 2 s e n   2 t - 3 t 0 2 π = - 192 π

Passo 3

Agora vamos aplicar o teorema de Stokes e calcular nossa integral de superfície.

Primeiro vamos calcular o rotacional de g →

∇ × g → = i ^ j ^ k ^ ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z 4 y - x z x z 2 = x , - z 2 , - z - 4

Para nossa superfície, vamos parametrizar nosso paraboloide usando as coordenadas polares

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = r 2 / 2

Ou seja

r → ( r cos ⁡ θ ,   r   s e n   θ ,   r 2 / 2 )

Como estamos limitados pelo plano z = 8 , isso implica que

0 ≤ r 2 2 ≤ 8 → 0 ≤ r ≤ 4

Assim temos que nossos limites são r ∈ 0,4 e θ ∈ 0,2 π .

Com a nossa parametrização temos que

n → = ∂ r → ∂ r × ∂ r → ∂ θ = i ^ j ^ k ^ cos ⁡ θ s e n   θ r - r   s e n   θ r cos ⁡ θ 0 = ( - r 2 cos ⁡ θ , - r 2   s e n   θ , r )

E temos também que nosso rotacional se transforma em

∇ × g → r → r , θ = r cos ⁡ θ , - r 4 4 , - r 2 2 - 4

Passo 4

Assim temos que

∇ × g → r → r , θ ⋅ n → r , θ = - r 3 cos 2 ⁡ θ + r 6 4   s e n   θ - r 3 2 - 4 r

Assim nossa integral se resume em

∫ 0 4 ∫ 0 2 π - r 3 cos 2 ⁡ θ + 1 2 + r 6 4   s e n   θ - 4 r d θ d r

Já podemos observar que a integral de seno irá se anular, visto que o intervalo é simétrico e seno é uma função ímpar.

Outra transformação é fazer cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

Assim nos sobra

∫ 0 4 ∫ 0 2 π - r 3 2 cos ⁡ 2 θ + 2 - 4 r d θ d r

Integrando em θ

∫ 0 4 - r 3 2 s e n   2 θ 2 + 2 θ - 4 r θ 0 2 π d r

= ∫ 0 4 - r 3 2 4 π - 8 r π d r

E finalmente integrando em r

= - π r 4 2 - 4 r 2 π 0 4 = - 192 π

Assim temos que o teorema vale

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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