4. Verifique que

b)

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + k

Passo 1

Nossa integral é a seguinte:

I = ∫ 1 1 + x 2 d x

De primeira pode não ser muito intuitivo, mas com o tempo essa ideia vai se repetir e você vai ficar casca grossa. Vamos lá!

Lá da trigonométrica a gente sabe o seguinte:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

dividindo os dois lados por cos 2 ⁡ θ :

t g 2 θ + 1 = sec 2 ⁡ ( θ )

Viu que ficou parecido?! Então vem comigo.

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição

x = t g θ , θ ∈ ( - π 2 , π 2 )

Derivando,

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Nossa integral era:

I = ∫ 1 1 + x 2 d x

Usando nossa substituição:

I = ∫ 1 1 + t g 2 θ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Lá do Passo 1, sabemos o seguinte: 1 + t g 2 θ = sec 2 ⁡ ( θ )

Usando isso na nossa integral:

I = ∫ 1 sec 2 ⁡ ( θ ) sec 2 ⁡ θ d θ

Simplificando:

I = ∫ d θ = θ + k

Agora é só voltarmos para variável x .

x = t g θ → θ = a r c t g x

Portanto,

I = a r c t g x + k

Então tá verificado!

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados