Enunciado

8) Um aluno (precipitado), ao calcular a integral ∫ - 1 1 1 + x 2 d x , raciocinou da seguinte forma: fazendo a mudança de variável u = 1 + x 2 , os novos extremos de integração seriam iguais a 2 ( x = - 1 → u = 2 ;   x = 1 → u = 2 ) e assim a integral obtida após a mudança de variável seria igual a zero e, portanto ∫ - 1 1 1 + x 2 d x = 0 ‼ Onde está o erro?

Passo 1

Vamos com calma para deixar tudo bem claro. Primeiramente, o aluno fez a substituição

u = 1 + x 2 → x =   ±   u - 1       ( * )

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos ter que mudar os limites de integração usando ( * )

1° caso: x = u - 1   :

Nesse caso, teríamos que ter dois valores de u , um

x = - 1   → - 1 = u - 1   absurdo, pois uma raiz quadrada é sempre positiva!

x =   1 → 1 = u - 1 ,   vemos que   u = 2 é solução 😉

2° caso: x = - u - 1   :

Nesse caso, teríamos que ter dois valores de u , um

x = - 1   → - 1 = - u - 1   ,   vemos que u = 2   é solução 😉

x =   1 → 1 = - u - 1   absurdo, pois uma raiz quadrada é sempre positiva!

Passo 3

Viu que nos dois casos caímos em um absurdo? Assim, conseguimos concluir que essa substituição não é válida.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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g) ∫ 2 x + 3 x + 1 d x
e) ∫ x x + 1 d x
b) ∫ 2 x + 3 x ⋅ ( x - 2 ) d x
6. Utilizando o Exercício 5, calcule. e )∫ 5 x + 3 x 2 - 3 x + 2 d x
6. Utilizando o Exercício 5, calcule. d )∫ 1 x 2 - 4 d x