Se A = 3 2 - 1 2 - 1 2 1 2 1 e B = 2 1 - 1 - 2 3 3 1 0 2 , verifique que 2(A + B) = 2A + 2B .

Passo 1

Para começar vamos fazer uma breve revisão de propriedades de matrizes:

Imagine duas matrizes A = a 11 a 12 a 21 a 22 e B = b 11 b 12 b 21 b 22

Se multiplicamos uma matriz por um número:

2 A = 2 a 11 a 12 a 21 a 22 = 2 a 11 2 a 12 2 a 21 2 a 22

É equivalente a multiplicar todos os coeficientes da matriz.

Outra propriedade é a soma de matrizes. Esta operação só pode ser feita se as duas matrizes possuem o mesmo número de linhas e colunas. E é dada por:

A + B = a 11 a 12 a 21 a 22 + b 11 b 12 b 21 b 22 = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22

Ou seja, a soma de matrizes gera uma nova matriz com o mesmo tamanho das matrizes que a geraram e cada termo é a soma dos termos equivalentes nas matrizes originárias.

Agora que vimos estas propriedades vamos calcular 2 A + B e 2 A + 2 B . Fazendo isto devemos provar que 2 A + B = 2 A + 2 B . Vamos lá???

Passo 2

Nosso próximo passo será calcular 2 A + B . Para isso, vamos primeiro fazer a soma das matrizes A e B e depois multiplicar a matriz resultante por dois. Então:

A + B =

3 2 - 1 2 - 1 2 1 2 1 + 2 1 - 1 - 2 3 3 1 0 2 =

3 + 2 2 + 1 - 1 - 1 2 - 2 - 1 + 3 2 + 3 1 + 1 2 + 0 1 + 2 =

5 3 - 2 0 2 5 2 2 3

Multiplicando esta matriz por 2:

2 A + B =

2 x 5 3 - 2 0 2 5 2 2 3 =

2 x 5 2 x 3 2 x ( - 2 ) 2 x 0 2 x 2 2 x 5 2 x 2 2 x 2 2 x 3 =

10 6 - 4 0 4 10 4 4 6

Passo 3

Vamos agora calcular 2 A + 2 B . Para isso, iremos multiplicar as matrizes A e B por 2, e então somar as duas. Então:

2 A =

2 x 3 2 - 1 2 - 1 2 1 2 1 =

2 x 3 2 x 2 2 x ( - 2 ) 2 x 2 2 x ( - 1 ) 2 x 2 2 x 1 2 x 2 2 x 1 =

6 4 - 2 4 - 2 4 2 4 2

E

2 B =

2 x 2 1 - 1 - 2 3 3 1 0 2 =

2 x 2 2 x 1 2 x ( - 1 ) 2 x ( - 2 ) 2 x 3 2 x 3 2 x 1 2 x 0 2 x 2 =

4 2 - 2 - 4 6 6 2 0 4

Vamos agora aplicar a soma destas matrizes:

  2 A + 2 B =

6 4 - 2 4 - 2 4 2 4 2 + 4 2 - 2 - 4 6 6 2 0 4 =

6 + 4 4 + 2 - 2 - 2 4 - 4 - 2 + 6 4 + 6 2 + 2 4 + 0 2 + 4 =

10 6 - 4 0 4 10 4 4 6

Portanto:

2 A + B = 10 6 - 4 0 4 10 4 4 6 = 2 A + 2 B

E conseguimos mostrar que as operações são equivalentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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